小波分析原理电子书：应用数学和工程的完美结晶-小波分析巡礼

小波分析原理电子书：应用数学和工程的完美结晶-小波分析巡礼1986年，Dubuc构造了插值小波。这种小波是将插值理论和多分辨率分析相结合得到的，它具有良好的去噪性能。1985年，Meyer从理论上对小波进行了研究，极大地丰富了现代调和分析的内容。1986年，他构造了Meyer小波，他的著作《小波与算子》详细地介绍了他的研究成果。1952年，Duffim等人引入框架概念，后来Heil等人在此基础上建立了小波框架。1975年，Calderon建立了再生公式，给出了H^p间中的原子分解，其形式已经接近小波展开公式。1984年，Morlet第一次引入小波概念，并和Grossman一起建立了小波的伸缩一平移系。

小波分析是继傅立叶分析后的一种新的信号处理方法。自1910年Haar构造 了Haar小波以来，经过许多科学家的继续研究，目前小波分析的理论已经臻于完 善。小波分析的方法，已经应用到自然科学和工程技术的众多领域。小波变换的本质是将给定的信号分解到一系列不同的频带中，从泛函分析的观点看，小波变换是将给定的信号函数，投影到一系列函数空间中。这一系列函数空间是通过一个函数伸缩和平移得到的，不同的函数空间代表不同的频率成分， 最后剩余的函数分量留在了尺度函数空间中，它是信号中的低频成分，也是实际问题中最关心的成分。小波分析中所用的小波是需要选择的，它完全不同于傅立叶分析中只能用正弦函数作分析因子，这使得小波分析比傅立叶分析具有更好的适应性。

小波发展过程如下（到2006年，因为深度学习模型出现）

1910年，Haar构造了Haar小波，由于该小波不连续，因此，当时并没有引起人们的重视。

1936年，Littlewood和Paley建立了LP理论，提出了在傅立叶变换中按二进制对频率进行划分，这被认为是多尺度分析思想的最早来源。

1952年，Duffim等人引入框架概念，后来Heil等人在此基础上建立了小波框架。

1975年，Calderon建立了再生公式，给出了H^p间中的原子分解，其形式已经接近小波展开公式。

1984年，Morlet第一次引入小波概念，并和Grossman一起建立了小波的伸缩一平移系。

1985年，Meyer从理论上对小波进行了研究，极大地丰富了现代调和分析的内容。1986年，他构造了Meyer小波，他的著作《小波与算子》详细地介绍了他的研究成果。

1986年，Dubuc构造了插值小波。这种小波是将插值理论和多分辨率分析相结合得到的，它具有良好的去噪性能。

1987年，在法国的马赛召开了第一次国际小波会议，极大地推进了小波的发展。

1988年，Daubechies构造了紧支集正交小波，它是现在应用最多的小波之一 。

1989年，Mallat提出了多分辨率分析概念，建立了构造小波的通用框架。他还给出了Mallat算法。

1989年，Coifman等人构造了小波包。

1992年，Chui等人构造了B样条小波。

1992年，Cohen等人构造了双正交小波，它是目前应用最多的小波之一。

1993年，Daubechies在Coifman的要求下，构造了Coifman小波。这种小波的尺度函数和小波都具有消失矩，比Daubechies小波具有更好的对称性。它是目前应用最广泛的小波之一。

1993年，Steffen等人提出了多带小波，它是二带小波的推广。

1994年，GoodIIlan等人建立了多小波理论。

1995年，Swedens提出了小波提升格式，建立了第二代小波变换的框架体系。

1996年，Zhang等人研究了Mallat算法中的初始值问题，给出了由抽样值计算初始值的公式。

1999年，Candes提出了脊波(Ridgelet)。小波对奇异点具有很好的检测能 力，而脊波对奇异直线有更好的检测能力，能够有效地提取图像中直线的特征。 同年，Candes又提出了曲波(Curelet)，它能有效地提取曲线的特征。

2000年以后，Averbuch等人采用提升构造双正交多小波，M带双正交插值小波等。

Zhon等人构造了正交小波和双正交小波。

0raintara等人构造了M带正交小波和M带二元小波。

Fernandes等人构造了复值小波。

Chapa等人构造了匹配小波。

2000年，Pennec等人提出了带形小波(Bandelet)变换，这是一种基于边缘的图像表示方法，能自适应地跟踪图像的几何正则方向，具有很好的去噪和压缩性能。

2002—2005年，Do等人提出了轮廓小波(Contourlet)变换和临界抽样轮廓小波(critically sampled contourlet)变换。轮廓小波基的支集是长条形的， 其长宽比随尺度而变，它能很好地逼近原始图像。

2006年，Khalidov等人由线性微分算子构造了类小波基(wavelet—like base)。这种小波具有很好的性质，其小波空间特性是由算子的极点和零点表征的。

此外，2011年Daubechies提出了同步压缩小波变换，2012年Mallat提出了小波散射网络，2013年Gilles提出了经验小波变换。

小波应用

随着小波分析在理论上和算法上的不断发展，它的应用范围也越来越广泛。 目前小波分析已经成为一门重要的应用学科，它已广泛应用于信号和图像处理、 语音识别与合成、遥感遥测、CT成像、地震勘探、故障诊断、量子力学和天文学 等。例如，美国耶鲁大学以Coifman为首的小波研究小组应用小波分析对美国联邦调查局存储的3亿个指纹进行压缩，仅由存储光盘所获得的效益就高达3000万美元，而由于指纹传输时间缩短为原来的1／20所创造的价值更是无法估量。因此，充分利用小波分析这一新的工具，已成为许多学科所关注的问题。下面分别讨论小波分析在一些重要领域中的应用。

(1)小波在信号去噪中的应用

去噪是为了提高信号的清晰度和视觉效果。由于小波变换具有时频局部化特性，因此能够有效地消除信号中的噪声。1992年，Mallat根据信号和噪声具有不同的特性，提出了通过检测信号的小波变换系数中的模极大值去噪方法。1995年，Donoho提出了基于阈值处理的小波去噪方法。

(2)小波在神经网络中的应用

小波神经网络是建立在小波理论基础上的一种新型神经网络。它能兼顾小波和神经网络的优点，不仅利用了小波变换的时频局部性，而且发挥了神经网络的自学能力，因此具有较强的逼近和容错能力。

(3)小波在电磁理论中的应用

电磁场问题可以用相应的算子和边界条件来描述。在电磁场数值计算中，人们希望能用较小的计算量和存储空间求得精确解。小波变换可以使电磁场数值计算中的矩阵变得稀疏，便于方程求解。1993年，Steinberg应用小波求解电磁场积分方程，并讨论了矩量法的有关问题。1995年，Wang将小波与边界元法相结合求解散射和多导体传输线，并提出了基于多尺度分析的求解微分方程的算法。1996 年，Krumpholz提出了基于多分辨率的求解麦克斯韦方程的时域多分辨率分析算 法。1998年，G01ik利用小波包变换获得了比小波变换更为稀疏的矩阵，进一步提高了计算效率。

(4)小波在图像融合中的应用

图像融合是将不同方法获取的同一影像数据进行空间配准，然后采用融合算法将各个影像的优点或互补往有机地结合起来，产生新的图像，以提高对图像的信息分析和提取能力。目前，基于小波变换的图像融合技术是研究的主流。

(5)小波在数字水印中的应用

随着计算机技术，网络技术和多媒体技术的发展，人们可以通过Internet发布自己的数字作品。为了防止数字作品被侵权、盗版和篡改，需要实施有效的版权保护，于是产生了数字水印技术。 数字水印技术是将其有特定意义的标记(水印)嵌入到数字作品中，用以证明作品的所有权，并作为鉴定和起诉非法侵权的证据。由于小波交换具有时频局部性和多分辨率特性，因此，小波域水印技术越来越受到人们的关注。

(6)小波在图像压缩中的应用

早期的JPEG图像压缩标准采用离散余弦变换算法。基于离散余弦变换的编码技术容易出现方块效应和蚊式噪声。从2000年起，基于离散小波变换的新的JPEG2000图像压缩标准开始使用。 JPEG2000可以实现无损压缩和感兴趣区压缩，可以对JPEG文件加密，而且对多种色彩换型都具有很好的兼容性。由于小波变换具有良好的时频局部性，而且 容易和人类视觉特性相结合，因此，已成为图像压缩的主要技术之一。

(7)小波在其它领域中的应用

小波分析在数学、力学、生物学、天体物理学和量子力学等领域也得到广泛 的应用。

在数学方面，小波分析被认为是近50年来调和分析的结晶。利用函数的小波基系数的衰减速度，可以分析函数在某点附近的局部正则性。许多经典的函数空间都可以被序列化，这是傅立叶基做不到的。

在快速算法方面，Beylkin将小波变换应用于Calderon—Iygmund类的奇异积分算子，这些算子在小波基上的表示几乎是对角化的，因此能够对奇异算子进行快速计算。随后，Jaffard等人将小波变换应用于偏微分方程的数值解。

在流体力学中，小波变换可以对湍流场进行分解，并测量其能谱。 小波基是通过母小波的平移一伸缩得到的，基函数之问具有相似性，因此小波变换非常适合于分形表示和计算分形的分数维。Arneodo等人应用小波分析对分形进行了详细的研究。

在生物医学领域，小波变换己用于核磁共振成像技术中，可在40毫秒内提供 一个切片图像。

在天体物理中，小波变换已用于自动探测中的信号处理。这个数学上的显微镜能够在不同尺度上分析银河系的分裂性质和分形结构等重要信息。

小波分析的前景和展望

小波分析在理论上和应用上都取得了重要成果，对许多学科都产生了巨大的影响。有关专家预言，小波分析的真正高潮还没有到来。小波分析在理论和应用方面都还处在迅速发展之中，有许多问题还尚未解决。对于下述问题的研究是非常有意义的。

(1)小波理论需要进一步完善，特别是高维小波、多小波、复值小波、匹配小波、脊波和曲波的数学理论和构造方法。

(2)构造能够兼顾正交性、对称性、正则性和紧支性等特性的小波。

(3)最优小波基的选择方法的迸一步研究。

(4)小波与分形的研究。

(5)小波与分数傅立叶变换的研究。

(6)小波变换软件的研究。

(7)小波神经网络的研究。

(8)小波与混沌理论相结合的研究。

(9)非线性小波的研究以及在非线性科学中的应用。

(10)小波在通信中的应用。

(11)小波在物理学、化学和生物医学等基础科学中的应用。

由于小波的良好特性以及在许多领域中的成功应用，美国应用数学学会已将它列为应用数学的八个前沿课题之一。美国国防部认为，小波分析对未来国防关 键技术中的信号和图像处理将产生重大影响。英国皇家数学学会也将小波分析列为重点发展的十大方向之一。法国和德国也投入极大的力量进行这一领域的研究。 中国科学院前任院长周光召在“若干基础科学的发展趋势”和现任院长路甬祥在 “科学的历史和未来”两届报告中都特别强调了小波分析的重要性。

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