曲面和曲线的微分几何：混沌与分形二
曲面和曲线的微分几何：混沌与分形二早在两千多年前的古希腊时代，人们最杰出的成就来自数论与几何，特别是欧几里得几何的建立，更使得几何学成为最严格和易于把握的公理化体系。分形如此广泛地分布在自然界中，却又与千百年来的智者擦肩而过。它的发现，正式揭开了大自然最迷人和动人的奥义之一。植物的分形（图片来源：网络）生活中常见的花菜、雷雨过后的闪电、凛冬漫天飞舞的雪花、贝壳身上的螺旋图案，小至各种植物的结构及形态，遍布人体全身纵横交错的血管，大到天空中聚散不定的白云、连绵起伏的群山，它们都或多或少表现出分形的特征。乍看起来杂乱无章的分形，原来是大自然的基本存在形式，无处不在，随处可见。图片来源：视觉中国
混沌的秘密，不可思议地隐藏在分形的世界里。
分形（fractal），该术语最早是由美国数学家曼德勃罗（Mandelbrot）于1973年提出。
曼德勃罗（1924-2010）（图片来源网络）
在其名著《大自然的分形几何学》中，曼德勃罗开创了分形几何学。分形几何以及与其相关的非线性理论，很快就显示出强大的生命力，其影响迅速遍及科学和社会的每个角落。许多学科中的难题，因为分形的介入而焕然一新。如梦初醒的科学家才发现，原来分形的身影已经在世界上默默存在了数亿年，从地球诞生始就向大自然昭示其深邃的奥秘。
植物的分形（图片来源：网络）
生活中常见的花菜、雷雨过后的闪电、凛冬漫天飞舞的雪花、贝壳身上的螺旋图案，小至各种植物的结构及形态，遍布人体全身纵横交错的血管，大到天空中聚散不定的白云、连绵起伏的群山，它们都或多或少表现出分形的特征。乍看起来杂乱无章的分形，原来是大自然的基本存在形式，无处不在，随处可见。
图片来源：视觉中国
分形如此广泛地分布在自然界中，却又与千百年来的智者擦肩而过。它的发现，正式揭开了大自然最迷人和动人的奥义之一。
早在两千多年前的古希腊时代，人们最杰出的成就来自数论与几何，特别是欧几里得几何的建立，更使得几何学成为最严格和易于把握的公理化体系。
几何研究的对象是图形。为了研究不同的几何对象，人们倾向于把它们进行归类。从点、线、面到立体，人们的思维逐渐扩展开来。渐渐地，人们意识到区别几何图形的重要分水岭：维度。直线和曲线是一维的图形，平面则是二维的图形，立体则属于三维的空间。
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一切都是那么的直观，历史在平静地流淌。直到有一天，一件匪夷所思的事打破了人们对维度的信念。
1890年，意大利数学家皮亚诺（Piano）构造了一种奇怪的曲线，该曲线自身并不相交，但是它却能通过一个正方形内部所有的点。换句话说，这条曲线就是正方形本身，进而应该拥有和正方形一样的面积！这个怪异的结论让当时的数学家大吃一惊，更让数学界感到深切的不安：如此一来，我们拿什么来区分曲线和平面？这条曲线究竟是一维，还是二维？经典的几何在它面前束手无策。这只被放逐出来的怪兽，正式奏响了分形几何研究的序曲。
皮亚诺曲线（图片来源：Wikipedia）
维度概念的扩展，则得益于德国数学家豪斯多夫（Hausdorff）。他在1919年提出了维度的新定义。该定义为人们成功驱散了笼罩在分形曲线身上的迷雾奠定了基础。
在传统的观念下，一个空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。比如我们生活的空间之所以是三维空间，源自我们需要三个数值：经度、纬度和高度来确定物体在空间中的位置。这样的定义无比符合人们的直观，也因此在数千年间都被奉为圭臬。但是这种定义维度的方式，排除了分数维的可能。
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豪斯多夫另辟蹊径，从物体的自相似性来定义维度。自相似性，顾名思义，就是“一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成的”。比如一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成。一个立方体，则可以看成是由8个大小为自身八分之一的小立方体组成。
简而言之，如果一个图形按照N∶1的比例缩小后。如果原来的图形可以由M个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数d，就是豪斯多夫维数，定义为 d = ln(M)/ln(N). 在豪斯多夫的定义下，皮亚诺的曲线恰好就是二维！因此它能填满正方形并不奇怪。
皮亚诺曲线就是一条自相似的曲线。它身上揭示了分形的诸多特征：具有自相似性、具有无穷多的层次和细节，可以被无限放大、永远都有结构，最令人惊异的是，它还可以是分数维。比如著名的科赫雪花曲线就是1.26维，谢尔宾斯基三角形则是1.58维。
雪花的分形（图片来源：网络）
皮亚诺曲线发现后的83年，曼德勃罗首次提出了分形几何的概念。他在一次公开演讲中提出了一个看起来让众人乏味的问题：英国海岸线究竟有多长？
人们会轻描淡写地回答：只要用仪器去测量就行啊，只要测量得足够精确，总能得到想要的结果。然而，出乎所有人的意料，如果用不同大小的度量标准来测量海岸线的长度，每次竟然会得出完全不同的结果。当度量标准的尺度越小，测量出来的海岸线的长度会越来越长！随着测量精确的提高，英国海岸线的长度也在迅速趋于无穷！多年以后，科学家们才发现，英国海岸线是一个复杂的分形曲线。根据多次测量所得的结果，英国海岸线的分形维数大约等于1.25。
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更令众人吃惊的是，英国海岸线里隐藏的秘密竟然也和人体的生命构造息息相关。分形的发现，则将人们引向越来越奇异的科学探索之旅。大自然，处处都彰显出伟大的和谐与统一。
(未完待续)
下期预告：混沌与分形（三）：人体竟是分形的杰作？！
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参考文献：
1. 《数学的故事》，伊恩.斯图尔特著 上海辞书出版社，2013。
2. 《从混沌到有序人与自然的新对话》，伊里亚·普里戈金、斯唐热著，上海译文出版社，1987。
3. 《复杂》，米歇尔.沃尔德罗普著，生活·读书·新知三联书店，1997。
4. 《蝴蝶效应之谜》，张天蓉著，清华大学出版社，2013。
