为什么永远追不上一只乌龟原理？:为什么你跑的再快也追不上乌龟

为什么永远追不上一只乌龟原理？:为什么你跑的再快也追不上乌龟乌龟说：“你不信？好，你看到前面那棵大树了吧？离咱们俩刚好100米。既然你说你跑得比我快，那你就等我爬到那棵大树跟前，再开始追我。我敢打赌，你肯定追不上我。”阿喀琉斯说：“笑话！我一堂堂大英雄，岂能追不上你这小小乌龟？！”“我在练习跑步。”乌龟说道。“什么？！你在练习跑步。你还想当世界冠军啊？”阿喀琉斯忍不住嘲笑道。乌龟说：“你别看不起人。你还不一定跑得过我呢！”

阿喀琉斯，你到底行不行啊？

文 | 登山者

看过电影《特洛伊》的人，都会对布拉德-皮特饰演的阿喀琉斯印象深刻。到底真正的阿喀琉斯有没有那么英俊神武，我们不得而知。但借由《荷马史诗》里的记载，这位英雄除了脚踝是唯一命门外，可谓刀枪不入，并且凭借一已之力扭转了特洛伊的战局，堪称战神。

但在古希腊哲学家芝诺（Zeno）的眼里，这位战神却根本不值一提，甚至还追不上一支乌龟。这是怎么回事呢？我们不妨戏仿“伊索寓言”的体例，来讲一讲阿喀琉斯与乌龟的故事。

• 1

一天早晨，阿喀琉斯正在军营里晨练。忽然，他看见不远处，一支乌龟正在地上慢慢悠悠地爬着。乌龟爬的有板有眼，搞得好像也在跑操似的。阿喀琉斯很好奇，走上前去，问道：“乌龟，你这爬来爬去的，干什么呢？”

“我在练习跑步。”乌龟说道。

“什么？！你在练习跑步。你还想当世界冠军啊？”阿喀琉斯忍不住嘲笑道。

乌龟说：“你别看不起人。你还不一定跑得过我呢！”

阿喀琉斯说：“笑话！我一堂堂大英雄，岂能追不上你这小小乌龟？！”

乌龟说：“你不信？好，你看到前面那棵大树了吧？离咱们俩刚好100米。既然你说你跑得比我快，那你就等我爬到那棵大树跟前，再开始追我。我敢打赌，你肯定追不上我。”

阿喀琉斯笑道：“你这只狂妄自大的乌龟，别说先让你跑100米，就是先让你跑1000米，我也能追上你。我问你，你1秒钟能爬几米远啊？”

乌龟说：“我拼尽全力，1秒钟也能爬1米呢。你比我快又怎么样？我告诉你，只要你让我先爬100米，你永远别想追上我！”

阿喀琉斯说：“你当我小学没毕业啊？我1秒钟至少能跑10米，就算你1秒钟能爬1米，等你到了树那，我才开始追你，我跟你之间也不过距离100米。用100米除以咱俩的速度差，也就是9米每秒，我会在11又9分之1秒后追上你！”

乌龟说：“你也就小学生水平了。不是这么算的。你看，等我爬到那棵树底下，你开始追我；你从这跑到那棵树底下，根据你的速度，你用了10秒钟，在这10秒钟，我从树那往前爬了10米，这时咱俩的距离从一开始的100米缩短成了10米；又过了1秒钟，你往前跑了10米，我又往前爬了1米，这时，咱俩的距离又缩短成了1米；又过了0.1秒，你往前跑了1米，我往前爬了0.1米，咱俩的距离又缩短成了0.1米；再过0.01秒，你往前跑了0.1米，我往前爬了0.01米，咱俩的距离又缩短成了0.01米… …

也就是说，每次你跑到我上次经过的地方，咱俩的距离都缩短成上次距离的10分之1。但不管这距离有多小，它都不可能等于0。所以说，你永远都追不上我。”

阿喀琉斯心想：好像是这么回事啊。可我怎么可能追不上一只乌龟呢？简直是荒唐！那到底是能追上，还是追不上呢？他陷入了沉思。

就这样，乌龟给阿喀琉斯留下了一个难题，任凭他在晨风中凌乱，自己慢慢悠悠地爬走了。

• 2

这就是著名的“芝诺悖论”。

估计芝诺自己也没有想到，他提出的这个悖论，竟然困扰了后世的哲学家和数学家们近两千年之久。实际上，不管是在数学初生的古希腊时代，还是在微积分业已诞生的近代，根据生活经验，人们都能确信，阿喀琉斯是一定能追得上乌龟的。但是在近代数学，特别是极限论、级数论严格建立之前，人们无法有效地驳斥乌龟的谬论。而当人们真正掌握极限的内涵以后，乌龟的谬论也就不攻自破。

在此之前，我们可以通过一道经典的小学数学应用题，来初步了解什么是极限和级数。进而，我们将给出对乌龟的驳斥。

一位猎人带着自己的猎狗去看望朋友，朋友家在5公里之外，猎人每小时能走5公里，猎狗每小时能走25公里。出发的时候，猎人要求猎狗在前面先走，不要等自己，但跑到朋友家时就掉头，迎接自己，狗狗返回途中遇见猎人了，就掉头再往朋友家跑，如此反复，直到猎人到达朋友家。问：在此过程中，猎狗一共跑了多远？

我现在还记得，20几年前，我的小学老师是这样教我们解决这个问题的：不要管每次猎狗到达朋友的房子、再掉头遇见猎人这个过程中，狗狗跑了多远，要用整体思维来考虑。从题目不难知道，猎人从出发到朋友家，5公里的路，他走了1小时。而在这1小时之中，狗狗一刻不停地在跑，也就是说，在此过程中，狗狗整整跑了1小时。所以，狗狗一共跑了25公里。

而当我到了大学以后，重新回想这道题，由衷地佩服我当年的老师：他所谓的整体思维，其实是一种积分的思维。但是，他知道小学生是很难理解积分的。因此，他用一种巧妙的方法，引导自己的学生，用小学数学的知识解决了这道题。

然而，这毕竟是种“迂回”的解法。而到了中学，掌握数列的相关知识以后，就可以对这个题目发起“正面攻击”了。

我们把狗狗离开猎人、跑到朋友家、再回头遇见猎人的过程，称为一个来回。先看第一个来回。狗狗从出发点到朋友家，先跑了5公里，猎人在此过程中走了1公里（相同时间内，猎人速度是狗狗的1/5，因此距离也是它的1/5），随后狗狗掉头往回跑；此时狗狗与猎人相向而行，距离是5公里减去猎人走完的1公里，即4公里，狗狗与猎人将在2/15小时（4公里除以二者速度之和）后相遇，因此，狗狗回头跑了10/3公里（2/15小时与狗狗速度之积）；于是，第一个来回，狗狗一共跑了25/3公里。

第二个来回。狗狗先从与猎人相遇处，回头往往朋友家跑，跑了10/3公里，猎人在此过程中走了2/3公里，随后狗狗掉头往回跑；此时狗狗与猎人相向而行，距离是10/3公里减去猎人走完的2/3公里，即8/3公里，狗狗与猎人将在4/45小时后相遇，因此，狗狗回头跑了20/9公里；于是，第二个来回，狗狗一共跑了50/9公里。

第三个来回。重复以上计算过程，不难求得，狗狗跑了100/27公里。

第四个来回。易知，狗狗跑了200/81公里。

第五个来回，狗狗跑了400/243公里。

此时，我们已经看出来，狗狗每一个来回跑的距离都是上一个来回跑的距离的2/3。因此，我们要想求出狗狗在这一小时内跑的总距离，实际上，就是对等比数列{25/3 50/9 100/27 200/81 400/243… …} 求和，根据等比数列求和公式，距离：

问题是，狗狗在这1小时内，共跑了几个来回呢？根据题目意思，显然是无数次，也就是说，n是趋向无穷大的。而当n趋向于无穷大时，显然

等于0，于是S=25。这样，我们用数列加极限的方法，得到了和“整体法”一样的结果。

这时，我们不难发现，这个题目的奇特之处在于，我们对无限项的数列求和，居然得到了一个有限的数值。在求解过程中，当n趋于无穷大时，

的值为0，是关键所在。

这个关键所在，就是高等数学的基石：极限。而形如

这样的数列之和，当n无穷大时，就是所谓的无穷级数。

关于猎狗问题，数学界流传着一个非常著名的段子。一次，数学家冯-诺依曼的某位朋友向他提出了这个问题，这位“计算机之父”、有着“人体计算机”之称的数学家，不假思索地给出了答案。朋友笑道：你肯定是用了“整体法”。冯-诺依曼反驳道：胡扯！我做的就是先算出那个无穷级数，然后再算出那个无穷级数的和。

看来，“人体计算机”果然名不虚传。

• 3

现在，我们尝试用极限的办法来驳斥乌龟的谬论。

按照乌龟的思路，阿喀琉斯之所以永远追不上它，是因为不管二者之间的距离有多近，都不为0。也就是说，不管二者之间的距离有多小，阿喀琉斯将永远追下去。这就意味着，当阿喀琉斯与乌龟之间每一段的距离越来越接近于0时，阿喀琉斯跑过的所有段距离的总和（无穷级数），是无穷大的（发散不收敛）。不然，如果这个距离之和是有限的话，阿喀琉斯总能追得上乌龟。

那么，我们就来求解阿喀琉斯跑过的所有段距离的总和。显然，这个总和是等比数列{100 10 1 0.1 0.01 0.001… …}各项之和，即：

而当n趋于无穷大时，显然

。也就是说，阿喀琉斯只需要跑

米，就可以追得上乌龟。

这是从空间的角度来驳斥的。如果将阿喀琉斯跑过的每一段距离除以他的速度，则得到了他通过每一段距离所需的时间，即得到如下的等比数列：{10 1 0.1 0.01 0.001 0.0001… …} ，总时间即为：

而当n趋于无穷大时，显然

。也就是说，阿喀琉斯只需要跑

秒，就可以追得上乌龟。

而这个结果，显然，与阿喀琉斯用小学数学的办法得到的结果一致。

或许直至此刻，依然有人会说，我知道阿喀琉斯能追得上乌龟。但是，你怎么解释，每一个时间段（距离段）尽管再小，都不为0，也就是说，阿喀琉斯即便与乌龟无限接近，但他就是不能追上乌龟啊！

这就涉及到两个非常重要的问题：时空是连续的，可以无限可分的吗？我们如何认识运动、时间的无限可分？

第一个问题，涉及到康德的第二个“二律背反”——时空既无限可分，又不是无限可分的。当然，经典力学封顶之后，我们相信，时空是连续的，物体的运动、时间的流逝都是无限可分的。然而，量子力学建立以后，我们又被刷新了“三观”，量子态是不连续的，不是无限可分的。然而，在经典力学的时空中，运动、时间依然是连续的、无限可分的。

这是我们在哲学上解决“芝诺悖论”的第一步，即承认经典时空的连续性。

第二步，如何认识运动、时间的无限可分？实际上，运动、时间的无限可分，单纯当作为无穷小量时，是没有具体的物理意义的，只有与数学中的极限相一致的“理论”意义。归根结底，我们不能想象感知有实际存在的无穷小的位移和无穷短的时间。然而，通过极限的运算，可以最终将这种建立在我们无法直接领略感知的无限维度上的“虚拟”变量，转化为我们可以理解感知的有限维度的诸多“实在”的物理变量。比如，我们知道，速度的微分是加速度，而速度的积分就是质点运动的位移；曲线上，某点的切线的斜率，就是该曲线的导函数在该点的值，等等… …

因此，乌龟所谓的无限接近但不为0的那种情况，实际上是不存在的。尽管乌龟将阿喀琉斯追赶它的过程（运动的位移），拆分成了无数项的子过程，但这整体过程的有限性（位移是有限的），牢牢地限死了这些子过程的物理意义。而当这些子过程趋向于0时，它们的物理意义自动消解，也就不具备思辨、观察的价值了。

至此，我们终于确信：在经典时空中，阿喀琉斯是能追得上乌龟的。