古今著名数学问题：用现代数学方法解古题 物不知数

古今著名数学问题：用现代数学方法解古题 物不知数《高等代数》　　预备知识（1）来源于“互素”的定义，本文并不打算给出（2）、（3）的证明，请参阅《高等代数》或《数论》的相关基础知识。　　即：若整数a与整数b互素，且整数a与整数c互素，则整数a与整数b、c的积互素。　　（3）若a、b∈Z，且（a，b）＝1，则存在u、v∈Z，使得：ua＋vb＝1。　　这个定理很重要，它将两个整数的最大公因数表示成了这两个整数的线性组合，可以用具体的算式表示或计算了。

　　预备知识：

　　（1）若a、b∈Z，且（a，b）＝1，则a与b互素。

　　即：两个整数的最大公因数等于1时，这两个整数互素。

　　（2）若a、b、c∈Z，且（a，b）＝1、（a，c）＝1，则（a，bc）＝1。

　　即：若整数a与整数b互素，且整数a与整数c互素，则整数a与整数b、c的积互素。

　　（3）若a、b∈Z，且（a，b）＝1，则存在u、v∈Z，使得：ua＋vb＝1。

　　这个定理很重要，它将两个整数的最大公因数表示成了这两个整数的线性组合，可以用具体的算式表示或计算了。

　　预备知识（1）来源于“互素”的定义，本文并不打算给出（2）、（3）的证明，请参阅《高等代数》或《数论》的相关基础知识。

《高等代数》

《数论》

　　式②：

　　由｛m1，m2，m3｝两两互素及预备知识（1）、（2），可得：

　　（m1，m2m3）＝1

　　（m2，m1m3）＝1

　　（m3，m1m2）＝1

　　式③：

　　由预备知识（3），可得：

　　u1m1＋v1（m2m3）＝1

　　u2m2＋v2（m1m3）＝1

　　u3m3＋v3（m1m2）＝1

　　式④：

　　将式③对应模m1、m2、m3，可得：

　　v1（m2m3）≡1（mod　m1）

　　v2（m1m3）≡1（mod　m2）

　　v3（m1m2）≡1（mod　m3）

　　什么意思？

　　以式③中第1式为例：由于u1m1＋v1（m2m3）＝1，所以u1m1＋v1（m2m3）除以m1余数为1；左加数u1m1是m1的倍数，除以m1余数为0；故而右加数v1（m2m3）除以m1的余数为1。第2、3式类同。

　　式⑤：

　　由于b1<m1，b2<m2，b3<m3，将式④中每个式子两端依次乘以b1、b2、b3，仍然对模m1、m2、m3保持同余关系，可得：

　　v1（m2m3）b1≡b1（mod　m1）

　　v2（m1m3）b2≡b2（mod　m2）

　　v3（m1m2）b3≡b3（mod　m3）

　　什么意思？

　　举个例子：

　　7≡1（mod　3）

　　即：7除以3余1

　　那么，7×2＝14除以3则余1×2＝2，即：

　　14≡2（mod　3）

　　但两端不能乘以大于或等于除数3的倍数。

　　式⑥：

　　构造x的一个特解：

　　x＝v1（m2m3）b1＋v2（m1m3）b2＋v3（m1m2）b3

　　式⑦：

　　扩充为x的通解：

　　x＝v1（m2m3）b1＋v2（m1m3）b2＋v3（m1m2）b3＋km1m2m3

　　其中：k∈Z

　　（重要程度★★★★★）

　　将文首古题中的参数：m1＝3、m2＝5、m3＝7，b1＝2、b2＝3、b3＝2，代入式⑦得：

　　x＝v1×（5×7）×2＋v2×（3×7）×3＋v3×（3×5）×2＋k×3×5×7

＝70v1＋63v2＋30v3＋105k

　　也许，聪明的您已经发现：我们将求x的问题转化成了求参数v1、v2、v3的问题。将1个未知数变成3个未知数，似乎让问题复杂化了。然而，事实上，参数v1、v2、v3是可以通过确定的计算求得的，这个“确定的计算”应用了“辗转相除法”，限于篇幅，另行介绍。

　　应用这种方法求得的参数值是：

　　v1＝－1

　　v2＝1

　　v3＝1

　　故而：

　　x＝70v1＋63v2＋30v3＋105k

＝－70＋63＋30＋105k

＝23＋105k

（四）补充

　　所谓“今解”，本质上并不现代，顶多是所用数学符号现代化了。本文所述“今解”，我国南宋数学家秦九韶于13世纪所著《数书九章》卷一中就已明确给出，名为“大衍求一术”。欧洲数学家欧拉约于1743年发现这一算法，高斯约于1801年发现这一算法。因此，其结论也被称为“中国剩余定理”。从今天的眼光来看，“物不知数问题”仍然是一个难题，即便高中的优秀生要弄通前文所讲道理，估计也得费好一番工夫。况且，还有不满足“除数两两互素”条件的所谓“物不知数问题”，更是难上加难。这的确是我国古代数学的一大骄傲！

秦九韶

《数书九章》