古今著名数学问题：用现代数学方法解古题 物不知数

古今著名数学问题：用现代数学方法解古题 物不知数　　译文：《孙子算经》（本文图片均来自网络）　　今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几何？　　”　　记载于距今约一千五百年前（公元四、五世纪）的中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷第28题，“物不知数问题”也叫“孙子问题”。

　　用现代数学方法解古题“物不知数”

　　2019年8月20日星期二

（一）古题

　　原文：

　　“

　　今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问：物几何？

　　”

　　记载于距今约一千五百年前（公元四、五世纪）的中国古代重要的数学著作《孙子算经》下卷第28题，“物不知数问题”也叫“孙子问题”。

《孙子算经》（本文图片均来自网络）

　　译文：

　　“

　　现有一些物品，不知道有多少个。如果三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个。请问：这些物品的数量至少是多少个？

　　”

　　数学化：

　　设此物之数为：x

　　则有：

　　x≡2（mod　3）或x÷3＝q1……2，或x＝3×q1＋2，q1∈Z（整数）

　　x≡3（mod　5）或x÷5＝q2……3，或x＝5×q2＋3，q2∈Z（整数）

　　x≡2（mod　7）或x÷7＝q3……2，或x＝7×q3＋2，q3∈Z（整数）

　　更为通用的写法是黑体部分。“x≡2（mod　3）”读作：x同余2模3，表示“除以3（或以3为模）时，x和2具有同余关系”。这个式子叫做“一次同余方程”，一次同余方程多于一个时，叫做“一次同余方程组”。下文中将使用这种写法，务必使其不要成为阅读障碍。

　　（重要程度★★★★★）

（二）古解

　　明代著名的大数学家程大位，在他所著的《算法统宗》中，将“孙子问题”的解法编成了歌诀，名曰《孙子歌》：

　　“

　　三人同行七十稀，

　　五树梅花廿一枝；

　　七子团圆正半月，

　　除百零五便得知。

　　”

程大位

《算法统宗》

　　歌诀中的“廿”，读音与“念”音相同。“廿”即二十的意思。

　　歌诀中的每一句话，都指出了一步解题方法：

　　“三（3）人同行七十（70）稀”：是说除以3所得的余数，要乘以70，即：2×70；

　　“五（5）树梅花廿一（21）枝”：是说除以5所得的余数，要乘以21，即：3×21；

　　“七（7）子团圆正半月（15）”：是说除以7所得的余数，要乘以15，即：2×15；

　　“除百零五（105）便得知”：是说要把上面所乘得的三个数相加，加得的和如果大于105，便应减去105，或者减去105的倍数。

　　计算过程如下：

　　2×70 3×21 2×15=140 63 30=233

　　233-105-105=23

（三）今解

　　或许您和我一样，初见“古解”，一脸懵懂，不知其所以然。

　　下面给出较之《孙子歌》更为通用的解法，可以适用于除数为包含但不限于｛3，5，7｝的更一般的“物不知数问题”。

　　为了降低难度，不再讨论“k个一次同余方程组”的解法，只讨论“3个一次同余方程组”的解法，其方法可以递推，进而得到更一般的解法。

　　式①：

　　设有3个一次同余方程组如下：

　　x≡b1（mod　m1）

　　x≡b2（mod　m2）

　　x≡b3（mod　m3）

　　其中：除数｛m1，m2，m3｝两两互素，即：（m1，m2）＝1，（m1，m3）＝1，（m2，m3）＝1；对应余数小于除数，即：b1<m1，b2<m2，b3<m3。

　　若令：m1＝3、m2＝5、m3＝7，b1＝2、b2＝3、b3＝2，则可得文首古题。其中：（3，5）＝1，（3，7）＝1，（5，7）＝1；2<3，3<5，2<7。

　　“除数两两互素”是重要的前提条件，否则，没有“漂亮的通解”，这是后话，本文不表。