量子奇点能级是什么？看量子理论如何用能量的观点揭开物质世界的奥秘

量子奇点能级是什么？看量子理论如何用能量的观点揭开物质世界的奥秘如图2（b）所示，原子能级的分裂与原子之间的距离有关。当原子之间相距很远时，每个原子相当于单原子，电子处于相同的单原子的能级上。如果原子之间距离越来越近，单个原子的电子逐渐公有化，能级分裂成许多相隔很近、貌似连续的能级，形成能带。图2：（a）单原子能级（b）晶体中能级分裂成N个（c）形成能带如果现在，有两个一模一样的家庭（原子）靠得很近如同图1（b）所示，那情况会怎么样呢？从图中可见，这时候，从外面看，双家庭仍然有一个高高的库仑势垒，电子不能跑到双原子外边。但在两个家庭的内部就不一样了。能量小一些的电子仍然在自家屋内规规矩矩地住着；能量大一些的（比如图中能量为E的）电子，便可以到另一家‘互相串门’。它们好像变成了两家 ‘共有’ 的孩子。不过，这两个共有电子仍然要求各自有自己的住房。因此，原来的能级E就分裂成了E1和E2两个非常靠近的能级。让我们再更进一步，如果有很多这种一模一样的原子家庭靠

在原子的电子云模型中，电子是一种费米子。根据量子理论，费米子不喜欢群居，而是自已有自己单独的‘房间’。它们遵循泡利不相容原理，在原子周围分层而居，分级而站，互不侵犯，井井有条。从能量最低的状态开始排队进入，占据原子一个个分离的能级。

尽管对量子力学基础的解释至今仍然莫衷一是，但如果我们说量子力学是进一百多年最成功的物理理论并不为过。从1900年开始，诺贝尔物理奖中的百分之九十以上颁给了与量子论有关的研究。而量子力学的成功事例中，建立于量子理论的基础上的能带论尤其令人刮目相看。用固体中的能带理论，科学家们成功地、从微观的角度解释了导体、绝缘体、和半导体导电性质的差别，从而才有了如此发达、造福人类的半导体工业。

首先，量子理论成功地解释了氢原子的光谱及其精细结构。包含了氢原子库仑势的薛定谔方程可以在球坐标下用分离变量法精确求解。然后，再计算出氢原子中电子的能级图，类似于下图中的图(a)

图1

如果现在，有两个一模一样的家庭（原子）靠得很近如同图1（b）所示，那情况会怎么样呢？从图中可见，这时候，从外面看，双家庭仍然有一个高高的库仑势垒，电子不能跑到双原子外边。但在两个家庭的内部就不一样了。能量小一些的电子仍然在自家屋内规规矩矩地住着；能量大一些的（比如图中能量为E的）电子，便可以到另一家‘互相串门’。它们好像变成了两家 ‘共有’ 的孩子。不过，这两个共有电子仍然要求各自有自己的住房。因此，原来的能级E就分裂成了E1和E2两个非常靠近的能级。

让我们再更进一步，如果有很多这种一模一样的原子家庭靠在一起，情况又如何呢？其实这也就正是在固体中常见的情形。图1（c）是这种情况的示意图：能量小的电子仍然在家呆着；能量大的如图中电子EA，便可以到处串门；即使是能量如图中EB的电子，‘串门’也是可能的，因为量子论预言了隧道效应，正门不开还有隧道可通呢。因此，诸如能量为EA、EB这类电子，便成了所有原子的‘共有电子’。无论是走正门还是穿隧道，这些共有电子都可以在整个固体（晶体）中自由自在地跑来跑去，我们将它们叫做自由电子。自由电子的存在决定了固体的导电性能。

固体中自由电子到底存在与否？数量多少？又与原子原来的能级结构有关。如上所述，晶体中的共有电子虽然自由，但它们还是保持原来那种‘不愿群居’的本性，每人要各住一层楼。所以，就和图1（b）所示的两原子情况类似，原来的一个能级产生了分裂，如果固体中总的原子数目为N的话，原来的一个能级就分裂成了N个能级。

图2：（a）单原子能级（b）晶体中能级分裂成N个（c）形成能带

如图2（b）所示，原子能级的分裂与原子之间的距离有关。当原子之间相距很远时，每个原子相当于单原子，电子处于相同的单原子的能级上。如果原子之间距离越来越近，单个原子的电子逐渐公有化，能级分裂成许多相隔很近、貌似连续的能级，形成能带。

图2（a-c）简单地描述了固体中电子能带的形成。简单地说，由于固体中的原子互相靠近，形成电子共有。比如，以硅晶体为例，硅原子之间距离很近，最短距离只有0.235nm。因此，硅原子最外的电子壳层互相便发生交叠，这些电子不再局限于某个原子，而成为公有化的电子。从而使原来单原子电子的能级分裂成能带。价电子的能级分裂而形成的能带叫‘价带’ （Valence Band），价带之上的第一个，即能量最低的那个允许电子占有的能带叫‘导带’ （ConductionBand）。导带和价带之间可以有空隙，称之为‘能隙’，或禁带（ForbiddenBand）。对于不同的材料，禁带宽度不同，导带中电子的数目也不同，从而有不同的导电性。导带、价带和禁带之间的关系决定了绝缘体、导体、半导体的区别。

如图3（a）所示，绝缘体中，价带充满电子，导带是空带，导带和价带之间有很寬的能隙Eg（禁带），价带中的电子很难突破这个禁带到达导带，所以，绝缘体不能导电。

如图3（b）所示，导体中没有禁带，Eg=0，导带和价带连在一起，甚至互相重叠，价带中的电子可以到达导带而成为整个固体共有的自由电子，所以，导体有强导电性。

图3（c）所示的则是半导体的情况。类似于绝缘体，半导体也有导带、价带、和禁带。价带也是满带，但是价带和空带之间的能隙Eg很小，也可能有交叠。这样它就很容易在外界作用（如光照、升温等）下发生跃迁而发生导电现象。但它的导电性能比导体要差得多，因而称之为半导体。

图3

能带论是研究固体最重要的理论基础，它的最大成就是成功地解决了经典电子论难以解决的许多问题，解释了半导体中的诸如光敏、热敏、掺杂等各种现象，是量子力学在固体中应用最重要的结果之一。

从上面的叙述，我们知道，在固体中，单原子电子的一个能级，分裂而成了多原子的多个共有电子所可能占据的一条能带。能带中包含了N个靠得很近的分离能级。这个N所代表的是固体中的原子数，是个非常大的数字。例如，在每一立方厘米的硅材料中，含有5*1022个硅原子。因此，可以将一条能带看成是包含了无穷多个连续的能级。所以，在图2和图3中，能带便被表示成涂了颜色的一片连续区域。

但是，通常我们看到的能带图，并不是一片连续区域，而是一条一条的曲线。比如说，图4（a）所显示的，便是硅的部分能带图。图中数条曲线龙飞凤舞，并没有如图3中的那种连续区，这又是怎么回事呢？

图4

这其中最主要的奥秘，是因为我们在图3中，只画出了能级的高低，忽略了电子运动时的另一个特征：动量。而电子的能量和动量是相关的。这点概念在经典力学中就很清楚，如果考虑相对论力学，也有相应的能量动量关系，只不过公式略有不同而已。在量子力学中，电子的运动用波函数描述，能量动量关系便被能量与波矢之关系所代替。

比如，我们研究脱离了原子束缚的自由电子（图4b）。自由电子的能量E，与其波矢k的平方成正比，如果将自由电子的每个能级所对应的波矢大小也考虑进去，将波矢作为横轴的话，图4b1中的淡蓝色连续区域，就演变成了图4b2中的淡蓝色连续曲线。

用个通俗的比喻来说明这个问题。图4b1中的连续区域中，用一条水平线表示某个电子占据了这层楼，而实际上的电子只住在这层楼的一个房间，电子所占楼层的高度还与房间离中心的距离有关，图4b2便描述了楼层高度与此距离之关系。

现在再回过头来看图4（a），就比较明白了，那些一条一条的曲线，原来是表示在波矢空间中，硅原子电子的不同能带！不过，仍然有读者会心存疑惑：你这儿所谓的‘波矢空间’是什么意思啊？

能带论应用的最重要领域是固体，大多数固体是原子整齐排列的晶体。为理解波矢空间，让我们再多介绍一点固体物理的基本知识。

在固体中所谓的自由电子，并不是绝对‘自由’的。每个自由电子都是在所有的晶格离子的势场以及其它所有电子的平均势场中运动。晶体中的离子形成各种规则的、周期性的排列。这种规则性和对称性，因各种材料的不同而不同。比如说，硅晶体的结构是一种面心立方结构。简单地说，面心立方晶格就是由一个一个的立方体组成，除了在立方体的顶点上各有一个硅原子（离子）之外，在6个面的中心处还各有一个硅原子，见图5（a）。硅晶体中的自由电子就在这种原子排列构成的周期势场中运动。

图5

很有趣。看看与晶体研究有关的几位物理学家，名字翻译成中文之后都是姓‘布’的。比如说，大家可能听过：布拉菲晶格、布拉格反射、布洛赫波、布里渊区。罗列一遍这几个‘布’先生对固体物理的贡献，对晶体能带的知识也就略知一二了。

第一位布先生是200多年前出生的法国物理学家奥古斯特·布拉菲（AugusteBravais，1811年－1863年）。尽管早在16世纪后期，人们就对晶体外在表现的规则形状有了初浅的认识，但直到有了原子模型之后，科学家们才开始根据晶体的外部形状，揣摩它们的内部结构，试图给出原子在物体中规则排列的各种可能性。正是这位布拉菲先生，首次将群的概念应用到物理学，于1845年得出了三维晶体原子排列的7大晶系和所有14种可能存在的点阵结构，为固体物理学做出了奠基性的贡献。

布拉菲建立了三维晶体的14种点阵模型，但是，到底哪种物质晶体具有哪种点阵呢？这还得用实验一个一个地进行确定。也就是说，最好是有某种方法，打进晶体内部去‘看一看’。‘看’东西的最好手段不就是使用各种颜色的光吗，但是，普通的光对探索晶体好像无能为力。那时候，科学家们刚刚结识了一位陌生的女士，人们把它叫做‘X-ray’，或称之为‘伦琴射线’。德国科学家威廉·伦琴（Wilhelm Röntgen，1845年－1923年），就因为苦苦追求这位‘才女’而捧走了瑞典国王第一次颁发的诺贝尔物理奖。尽管伦琴很谦虚、很低调，尽管他全部捐出了诺贝尔奖金，放弃了发现x射线的专利权，也坚决反对用他的名字命名此位‘女士’，但人们经常还是固执地称X-ray为伦琴射线，以纪念这位伟大的学者。

伦琴射线确实是才高艺广，能干很多可见光干不了的事情。诸如穿透人体显示骨骼之类的事情，她干起来得心应手，令人称羡。当时的物理学家们猜测，伦琴射线其实就是与可见光本质相同的电磁波，只不过波长更短得多而已。但如何证明这点呢？要证明波动性的最好方法就是让它产生干涉或衍射图案，像可见光经过光栅时产生衍射那样。但人们做不出这种光栅，因为尺寸太小了！光栅只对与其尺寸大小相仿的波动表现出衍射现象。这也和显微镜分辨率的概念一样：要想看清物体，必须使用波长小于或等于物体尺寸大小的光。而要观察波长范围在0.01纳米到10纳米之间的伦琴射线的波动性，需要用原子尺度的光栅！

科学家又想，晶体结构不就是一种原子尺度的光栅吗？最早做这件事情的是德国物理学家马克思·冯·劳厄（Max von Laue，1879年—1960年），他因此而得了1914年的诺贝尔物理奖。后来，这个领域又加入了两位‘布’先生，还是父子兵共同上阵，他们是亨利•布拉格（Sir WilliamHenry Bragg， 1862－1942）和他的儿子劳伦斯•布拉格（Sir William Lawrence Bragg，1890－－1971）。最后，这布拉格父子分享了1915年的、原来传说要颁给特斯拉的诺贝尔物理奖，这是唯一一次父子同上诺贝尔讲台领奖，被传为佳话，并且，小布拉格当时只有25岁，是迄今为止最年轻的诺贝尔奖得主。

布拉格父子所做的诺奖级贡献，其实看起来很简单。如果说劳厄的工作证实了x射线是一种电磁波，布拉格父子则是用这种电磁波，开创了x射线晶体结构分析学，为后人用x射线，以及电子波、中子波等，研究晶体结构，建立了理论基础。图6（a）是布拉格反射定律的示意图，由图可见，对某个入射角θ，如果从两个距离为d的平行晶面反射的两束波之间的光程差，正好等于波长λ的整数倍时，便符合两束波互相干涉而加强的条件：2d sinθ = nλ，另外一些角度，则可能符合两束波互相干涉而相消的条件，这样，我们就能在接受屏上观察到衍射图像。

图6