N个连续的自然数的平方和公式的推导：N个连续的自然数的平方和公式的推导

N个连续的自然数的平方和公式的推导：N个连续的自然数的平方和公式的推导下面给出连续自然数平方和的公式证明。当n→∞时有：因为：所以：上面用到了如下的连续自然数平方和的公式：

在很多教科书教复杂曲线下与横轴的面积时都有抛物线y=为例，来演示如何用极限的方法求面积，以此说明用定义来确定定积分的概念。如图：求抛物线y=与x轴在0≦x≦2区间内的阴影面积。

如果直接用定积分的定义， 和容易求出：

但定积分的引入时通过极限的方法，利用黎曼的面积累加得出的。

如果我们把[0，2]之间平均分成n段，每段是一个小长方形 面积为f(xi)△x，则当n趋近无穷大时，累加f(xi)△x所求的面积就是阴影面积。

因为：

所以：

上面用到了如下的连续自然数平方和的公式：

当n→∞时有：

下面给出连续自然数平方和的公式证明。

当你下次再看到用黎曼求和的方法计算面积，涉及到二次曲线下的面积要引用自然数平方和的公式，你也可以自己推导了。