无穷大是最大的数量：无穷大有多大

无穷大是最大的数量：无穷大有多大如果来了99辆无穷多座位的巴士呢？这时，只需将原来入住的客人挪到编号为100、200、300等房间，让第一辆汽车上的乘客搬到编号为1、101、201等房间，让第二辆汽车上的乘客搬到编号为2、102、202等的房间，以此类推。这样一来所有的房间都会被占据，同时也不会有客人没有房间住。但是，如果有无穷多个客人乘着一辆有无穷多座位的巴士要住进这家希尔伯特大饭店呢？这时，我们通过可以修改前面的方法，使它仍能适用于这种情况，那便是将已经入住饭店的客人间隔开来：用数学的语言来讲，这相当于把n号房间的客人挪到2n号房间，这样所有偶数号的房间都被占据。这样一来，每个用来隔开的房间（无穷多个）都是空的，也就可以容纳（无穷多个）乘巴士到达的人。车上座位号为n的人应该搬进第n个奇数编号的房间，也就是 (2n−1) 号房间。为了简单起见，我们将这间饭店的无穷多个房间编号为1、2、3、4、5……假设有一天，所有房间

○ 无穷多房间的希尔伯特大饭店。| 图片来源：IAS

在二十世纪初，德国的哥廷根大学是全世界最负盛名的数学研究中心之一。数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）是哥廷根大学的一位声名显赫的教授。在1924-1925年的那个冬季学期，他进行了一系列关于无限的讲座，涉及数学、物理学和天文学等领域。

在其中一个演讲中，他用了一个例子来解释有限集和无限集之间的关键区别：在一个房间数量有限的旅店中，如果所有房间都被占用，那么新来的客人就没有房间了；但是对于一个有着无穷多个房间的旅店来说，这就不成问题——如果所有房间都住满了，那么当新来了一位客人时，只需要把每位客人的房间向下挪一个，把第一个房间空出来留给新来的客人就好了。类似的论点使我们可以容纳任意数量、甚至无穷多的新来的客人。

无穷多房间的希尔伯特大饭店

为了简单起见，我们将这间饭店的无穷多个房间编号为1、2、3、4、5……假设有一天，所有房间都住满了，这时来了一位新客人。正如之前说的，我们只需要把1号房间的客人挪到2号房间，2号房间的客人挪到3号房间……也就是把n号房间的客人挪到(n 1) 号房间，从而空出1号房间给新来的客人，原来的客人也不会落得无房间可住。

如果我们再假设，新来的客人数量不是1位而是20位，那么之前的策略仍能奏效：只要把n号房间的客人挪到(n 20) 号房间，留出20个空房间给这20位新来的客人即可。

一层无穷

但是，如果有无穷多个客人乘着一辆有无穷多座位的巴士要住进这家希尔伯特大饭店呢？这时，我们通过可以修改前面的方法，使它仍能适用于这种情况，那便是将已经入住饭店的客人间隔开来：用数学的语言来讲，这相当于把n号房间的客人挪到2n号房间，这样所有偶数号的房间都被占据。这样一来，每个用来隔开的房间（无穷多个）都是空的，也就可以容纳（无穷多个）乘巴士到达的人。车上座位号为n的人应该搬进第n个奇数编号的房间，也就是 (2n−1) 号房间。

如果来了99辆无穷多座位的巴士呢？这时，只需将原来入住的客人挪到编号为100、200、300等房间，让第一辆汽车上的乘客搬到编号为1、101、201等房间，让第二辆汽车上的乘客搬到编号为2、102、202等的房间，以此类推。这样一来所有的房间都会被占据，同时也不会有客人没有房间住。

如果汽车上的乘客自己编号为1 2 3 4 5 … （而且我们不区分原来入住的客人，这可以认为是将所有原来入住的客人搬出饭店，并进入停在饭店旁边的一辆装饰精美的汽车，我们可以称之为0号汽车。）然后，我们将看到，饭店的前一百个房间（1-100）被100辆汽车上的编号为1的客人占据，饭店的第二个一百个房间（101-200）被编号为2的客人占据，等等。

如果将巴士上的乘客的编号为1、2、3、4、5......（我们假设将所有原来入住的客人都搬出饭店，暂时安置在停在饭店旁的一辆编号为0的巴士上），那么我们将看到饭店的前100个房间（1-100）被100辆巴士上的编号为1的客人占据，饭店的第二个100个房间（101-200）被编号为2的客人占据，等等。

两层无穷

再上升一个难度级别，是应对无穷多辆有着无穷多座位的巴士、每辆巴士上载有无穷多个乘客的问题。第一件要做的事是让每个人都离开饭店，离开汽车，然后将他们在停车场上安置乘网格状：让原来入住饭店的客人（也就是0号巴士上的乘客）按照编号顺序，从左到右形成一排。之后，再让1号巴士上的乘客在0号下面另排成一排，2号巴士上的乘客再在1号下面排成一排，以此类推。将每一排彼此对齐，这样一来，来自无穷多辆汽车上的编号为1的乘客就会形成一列，编号为2的乘客也会在1的右边另形成一列，等等。

现在，如果从第一行客人开始，将他们安排住进巴士里编号为1、2、3、4......的房间，那么这是一个永远无法结束的过程，我们也永远抵达不了第二行；如果我们从第一列开始，情况也是一样的。

解决这个难题的诀窍是考虑对角线，也就是网格上从左下角延伸到右上角的直线。在这些对角线中，最左边的那条只会经过左上角的那个人，即0号巴士上的1号乘客——让这个人入住1号房间。下一条对角线会经过两个人（1号汽车上的1号乘客，0号汽车上的2号乘客）：让这两个人入住2号和3号房间。下一条对角线将碰到三个人——让这三个人入住接下来的三个空房间，4、5、6号。按照这种模式，我们最终就能为耐心等候在停车场上的每个人都分配一个房间。

○ 按照对角线让客人入住希尔伯特大饭店。| 图片来源：IAS

三层无穷

这个无穷大的问题还能继续深入吗？当然可以。想象一下，在希尔伯特大饭店的旁边有一个车库，在车库的一楼是我们已经知道的无穷多辆无穷多座位的汽车。接着，我们注意到：车库有无穷多层，每层都有无穷多辆无穷多座位的汽车。希尔伯特大饭店能应对这额外的一层无穷吗？

答案是肯定的！我们可以用之前的方法，将车库里的每一层乘客排成一个纵列，然后让每个纵列进入一辆无穷多座位的汽车。这样，我们就把问题简化为无穷多辆无穷多座位汽车的问题了。而我们知道，这间饭店是可以容纳这种情形下的所有人的。

四层无穷......

如果再添加一层无穷呢？例如，如果车库也有无穷多个，每个车库有无穷多层，每层有无穷多辆巴士，每辆巴士有无穷多个乘客？即便要应对这一共4层无穷，答案仍然是肯定的！事实上，即使是4000层无穷大，答案也是肯定的。这一切会停止吗？希尔伯特大饭店是否会有再也无法接待新客人的时候？对于希尔伯特大饭店而言，是否存在一个无法承受的无穷大？

是的，有。事实上，当我们有无穷多层的无穷大时，就不可能让所有这些人都住进希尔伯特大饭店。

无穷大有多大？

所以…...发生了什么？结果表明，之前描述的所有无穷，直到最后一个，都一样大。它们的大小为ℵ0（aleph 0，读作阿列夫零），这也是集合 ℕ={ 1 2 3 4 … } 和希尔伯特大饭店中房间数量的大小。

1874年，格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）提出了如何比较无穷大的概念，并证明存在不同大小的无穷大。一些显赫的数学家（庞加莱、克罗内克和后来的的赫尔曼·尔）都强烈反对康托尔的观点。一些神学家也是如此，他们称康托尔的观点挑战了上帝的绝对无限的唯一性。而希尔伯特，则站在了支持并捍卫康托尔的一边。

比较无限集合的大小与比较有限集合的大小并没有太大的差别：若想要知道教室里的椅子数和人数哪个更多，我们并不需要分别数清有多少人和多少椅子才能比较这两个数字。我们只要瞥一眼房间，看看是否有空椅子（椅子比人多），或者看看是否有人站着没地方坐（人比椅子多）即可：如果每一个人都坐在椅子上也没有空出来的椅子，那么就意味着椅子的集合与人的集合一样大。

类似地，如果汽车上的每一位乘客都分配到了希尔伯特大饭店里的一个房间，没有剩余的空房间，那么，乘客的集合是一个与希尔伯特大饭店的间数同样大小的无穷大，都是ℵ0。利用这个想法，康托尔证明了实数集ℝ 严格大于自然数的集合ℕ； 他绝妙的论证被称为“康托尔对角论证法”（Cantor’s diagonal）。

康托尔还猜想并试图去证明连续统假设（Continuum Hypothesis，不存在严格大于可数集ℕ 却严格小于实数集 ℝ 的无限集合），但他没有成功。希尔伯特将证明这个命题的真伪作为第一个问题，包含在了著名的于1900年在巴黎举行的国际数学家大会上提出的23个问题中——这些问题，将决定未来几十年数学研究的方向。

答案是，连续统假设不能被证明是错误的 （哥德尔在上世纪40年代证明），但也不能被证明是正确的（Paul Cohen于1963年证明），这是一个不可判定的问题！

希尔伯特有一句关于康托尔的无穷大思想以及由此产生的新数学的名言：“没有人能够把我们从康托尔建立的乐园中赶出去。“

撰文：Ana Rita Pires

原文标题为“Hospitality at the Hilbert Hotel: How big is infinity?”。原文链接：https://www.ias.edu/ideas/2016/pires-hilbert-hotel。中文内容仅供参考，略有删减，一切内容以英文原版为准。