无穷大无穷小的四个定理：无穷大也能比较
无穷大无穷小的四个定理：无穷大也能比较怎么样！这个结果你没想到吧，第一次想到这个对应关系的绝对是天才！按照图纸箭头走法，我们将“逐一”取遍所有正有理数（这里我们无需弄复杂把负数拿出了，因为后面我们会知道：正有理数和有理数都是可数的），也就有理数是可以和自然数一一对应。另外，他把和自然数可以一一对应的所有集合叫做可数集合，可数集合的基数用b表示！（可数并不是说有限，实质上它的基数还是无穷）然后康托尔以此为基础，创造了一系列关于基数的运算法则。然后他立马遇到了第一个难题，有理数的基数能和自然数一一对应吗？康托尔对角线发展
关于超穷理论的内容，我分成上中下三部分，第一部分讲“数学历史"，第二部分将"无穷大基本概念" 第三部分讲“超穷理论”，喜欢的读者朋友们，可以根据自己的喜好选择其阅读内容。
前一篇我们介绍了无穷大的基本概念，还引入一个工具叫“射映”。在这篇文章中，我们将利用这些简单的概念，去了解超穷理论的精髓！
康托尔（Cantor，1845-1918，德国数学家）虽然遭到同行的挤压，但他从未停止自己对数学和真理的追求！他在想，正整数集合和平方数集合可以一一对应，那么他们的个数某种程度上应该是相等的。
康托尔把集合的个数称作“基数”（有的也称“势”），有限集合基数叫做有穷基数，无限集合的基数叫做超穷基数。
另外，他把和自然数可以一一对应的所有集合叫做可数集合，可数集合的基数用b表示！（可数并不是说有限，实质上它的基数还是无穷）然后康托尔以此为基础，创造了一系列关于基数的运算法则。
然后他立马遇到了第一个难题，有理数的基数能和自然数一一对应吗？
康托尔对角线发展
按照图纸箭头走法，我们将“逐一”取遍所有正有理数（这里我们无需弄复杂把负数拿出了，因为后面我们会知道：正有理数和有理数都是可数的），也就有理数是可以和自然数一一对应。
怎么样！这个结果你没想到吧，第一次想到这个对应关系的绝对是天才！
好了，有理数的问题解决了，下一步，康托尔自然要去研究实数，那么实数集是可数集合吗？？？（注：这时候，第一次数学危机“无理数危机”持续了2000多年，刚于1872年被彻底解决）
第一次数学危机
这个问题确实不容易，康托尔试了各种办法，都无法找到一种对应方式，把自然数射映到实数上，以他那非凡的天赋，他必定会想到：或许实数根本就是不可数的！
这就是康托尔超穷理论的第二个重大发现——实数集是不可数的！
不可数代表实数无法一一射映于自然数，实数集的基数用c表示，这个发现预言了无理数的存在，而且无理数远远要比有理数“稠密”！
这下可把数学界炸开了锅，有接踵而至的表扬，也有狂风暴雨般的批判和攻击，在1891年，康托尔又证明了超穷理论中一个重要定理——康托尔定理！
其内容意思是：所有集合的子集组成的集合，其基数（y）一定大于原集合的基数（x），并满足y=2^x！
因为集合每个元素的子集就是对每个元素选择留与不留，所以是已2为底。
这个定理非常强，小至空集，大致无穷基数的集合都成立，并从严格的数学逻辑推导出：实数集的基数就是正整数集合的所有子集的基数，换句话说c=2^b（如果你还没忘记b和c表示什么的话），同样我们可以得到“实数集合的所有子集集合”的基数比“实数集合”的基数大，一步步下去，我们就得到了不同的无穷基数d e f……
康托尔
其中可数基数（b）叫做阿列夫零，记作ℵ₀；
下一个（c）叫ℵ₁ ；
再下一个（d）是ℵ2；
那么根据康托尔定理就会有：ℵ₁=2^ℵ₀，ℵ2=2^ℵ₁……
阿列夫零
其中ℵ₁ 又称连续统的势，每个阿列夫数都对应于某个无穷大的势，注意，前面我们说无穷大是不能比较大小的，所以我们换了个概念——“势”，换句话说，其实就是无穷大是有区别的，但是理解起来并不容易。
超穷理论里面，有个很大的问题，就是ℵ₀和ℵ₁ 之间有其他的阿列夫数吗？康托尔觉得是没有的，这叫“连续统假设”，希尔伯特把这个问题作为他的二十三数学难题之首，排在了黎曼猜想和哥德巴赫猜想之前，足以看出其重要性和难度之大，不过后来数学家证明，这个假设是“不可判定的”，也就是说不能在其体系内证明也不能证伪，尤如欧式几何的第五公设的情况一样，那里会是另外一片数学领域。
第五公设
对于无穷大的处理，自从康托尔提出超穷理论后不再神秘，尤其是在物理学中，也出现了很多无穷大，这对物理学家来说简直就是噩梦，历经多年后，物理学家从找到了处理无穷大的办法——重整化，比如前面我提到的级数1 2 3 4 ……-1/12出现在弦理论中，就是利用了重整化的思想。
全体自然数之和
对于无穷大，数学家希尔伯特曾经提出一个经典的例子，叫希尔伯特旅馆：
我们设想有一家旅馆，内设有限个房间，而所有的房间都已客满。这时来了一位新客想订个房间，“对不起”，旅馆主人说，“所有的房间都住满了。”
希尔伯特旅馆
现在再设想另一家旅馆，内设无限个房间，所有的房间也都满了。
第一天：来了一位新客，想订个房间。“不成问题！”旅馆主人说。接着他就把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到3号房间，3号房间的旅客移到4号房间等等，这样继续移下去。这样一来，新客就被安排住进了已被腾空的1号房间。
第二天：又来了无穷多位要求订房间的客人。“好的，先生们，请等一会儿。”旅馆主人说。
于是他把1号房间的旅客移到2号房间，2号房间的旅客移到4号房间，3号房间的旅客移到6号房间，如此等等，这样继续下去。现在，所有的单号房间都腾出来了，新来的无穷多位客人也都可以住进去，问题解决了！
第三天：又来了无穷多个旅行团，每个旅行团有无穷多个旅客，只见这个老板不慌不忙，让原来的旅客1号房间客人搬到2号，2号房间客人搬到4号……，k号房间客人搬到2k号。这样，1号，3号，5号……所有奇数房间就都空出来了，然后：
让1号旅行团到3号，3*2号，3*3号，3*4号，…，3k号。
让2号旅行团到5号，5*2号，5*3号，5*4号，…，5k号。
让3号旅行团到7号，7*2号，7*3号，7*4号，…，7k号。
让4号旅行团到11号，11*2号，11*3号，11*4号，…，11k号。
将所有奇素数排成一列，也是一个可列无穷集合，然后让
1号旅行团到第1个素数的k次幂房间；
2号旅行团到第2个素数的k次幂房间；
3号旅行团到第3个素数的k次幂房间…这样不仅安排下了所有旅客，而且空出了1，15，21，33，35……这些不能表示为奇素数的k次幂的房间。
第四天：所有入驻的客人，每个客人都来了无数个亲戚，请问：旅客老板还有办法把这些客人的所有亲戚安排到旅馆中吗？
这个问题，就留给读者朋友们思考吧！如果你理解了超穷理论的概念，那么这个问题就很容易回答了！
好啦！以上所有内容就介绍到这里，有兴趣的读者朋友们，可以自行去了解更多关于超穷数理论的知识，当然也可以关注我们，给我们留言。
