二阶有源带通滤波器如何计算（一文搞懂三阶四阶）

二阶有源带通滤波器如何计算（一文搞懂三阶四阶）我们一向习惯于将电压和电流视为反馈量，但是，除此之外，PLL还将相位和频率视为小信号频率域变量。当寻求在较宽的频率范围内锁定时，现代相位频率检测器（PFD）充当驱使压控振荡器（VCO）频率锁定的频率检测器。 随着频率不断收敛，环路转换到锁相模式，其中，相位表现为数字沿的时间差，渐渐趋近于零。图1：这是一款二阶和三阶形式带高压电荷泵的PLL频率合成器（C1 = 0表示二阶）。通过可编程的R和N分频数，由固件设置频率。本系列文章一共分为五篇，第一篇将回顾现代先进的设计方法，余下四篇文章中，有两篇文章将介绍详细的噪声分析，一篇文章讲述实现低噪声的关键部件和工具，还有一篇将给出需要低噪声的示例，以说明当前的最新技术性能。基本PLL操作和二阶归一化形式大多数经典教科书提供了标准二阶形式的PLL设计，给出了虽然是近似但仍然非常有用的设计和分析方程，以及如图1所示的循环操作的简单描述。

这是关于现代合成器的系列文章的第一篇文章，本文介绍了基本的锁相环操作以及各种拓扑结构。

近年来，频率合成技术发生了重大变化。数十年来，超低噪声的分立式VCO一直是低噪声合成器的核心存在，现在它们发现正在面临来自集成VCO的挑战。目前最好的分立式VCO仍然享有20-30分贝的相位噪声优势，但是IC公司正在以完全集成为武器进行一场非对称的战斗，以图主导这个市场，它们并不追求最低的VCO噪声，而是通过架构创新让自由运行的VCO噪声变得不再那么重要。

芯片厂商的解决方案是，在芯片上放置良好的VCO，通过反馈将噪声抑制到非常低的水平上，然后把它们分解到应用频带内，以进一步降低相位噪声。分立VCO供应商现在面临的挑战是如何将它们在应用频带内出色的相位噪声扩展到更高频率上，同时还能获得最新合成器的全部架构创新优势。

本系列文章一共分为五篇，第一篇将回顾现代先进的设计方法，余下四篇文章中，有两篇文章将介绍详细的噪声分析，一篇文章讲述实现低噪声的关键部件和工具，还有一篇将给出需要低噪声的示例，以说明当前的最新技术性能。

基本PLL操作和二阶归一化形式

大多数经典教科书提供了标准二阶形式的PLL设计，给出了虽然是近似但仍然非常有用的设计和分析方程，以及如图1所示的循环操作的简单描述。

图1：这是一款二阶和三阶形式带高压电荷泵的PLL频率合成器（C1 = 0表示二阶）。通过可编程的R和N分频数，由固件设置频率。

我们一向习惯于将电压和电流视为反馈量，但是，除此之外，PLL还将相位和频率视为小信号频率域变量。当寻求在较宽的频率范围内锁定时，现代相位频率检测器（PFD）充当驱使压控振荡器（VCO）频率锁定的频率检测器。 随着频率不断收敛，环路转换到锁相模式，其中，相位表现为数字沿的时间差，渐渐趋近于零。

频率是相位变化量对时间的导数（ω=dθ/ dt），所以可以把相位看做为频率的积分。由于是压控震荡，VCO充当了输入电压到输出相位的积分器，它会引入-90度的相移。这也是它的传递函数形式为Ko/s的原因，这是积分环节的标准频域表示，在传递函数中，Ko的单位一般是弧度/秒/伏特。VCO的数据表通过以MHz/V为单位给出Ko的数值。为了统一，本文将Hz/V等价为kHz，Ko为弧度形式，因此，Ko = 2πKHz。

前向通道中的积分环节引入-90度相移，负反馈引入-180度相移，由于相移达到-360度时会导致不稳定，所以滤波器环节的最大允许相移为90度。我们通常会在环路带宽上留下至少40度的“相位裕度”。该裕度来自于电阻器R2在传递函数中引入的零点，因为如果没有这个电阻，电荷泵处的电容器会起到一个积分器的作用，再次引入-90度相移，这样会直接导致系统变得不稳定。

现在我们回顾一下对相移的基本分析。参考文献中给出了环路的经典“相位传递函数”，定义如下：

Hclassic（s）是从相位检测器上的参考输入到反馈输入的闭环传递函数，在经典参考文献中通常简称为“H（s）”。 这里的classic下标用于和在大多数现代文献中用于开环传递函数的“H(s)”进行清楚地区分。对于上图，如果我们对图中各个环节进行变量消除、替换和求解，会得到Hclassic（s）的具体定义：

从这个等式可以看出，这是我们所熟悉的二阶控制系统形式，为了帮助理解和计算，我们把它转换为如下形式的标准二阶系统形式：

这两个方程式形式相同，根据等式（2）和（3），我们可以得到如下两个参数：

这里的ωn是“自然”角频率，接近但通常不等于开环带宽。系统稳定后，其瞬态响应会以固有频率“反复震荡”。这里的ζ是“阻尼因子”，为了保证系统最终能够趋于稳定，这个参数必须大于零。通常，我们会将阻尼系数设定为大约0.5，这将提供大约45度的相位裕度，或者增加一个介于0.7-1之间的额外滤波极点。

通常的PLL“误差传递函数”定义为：

根据自动控制理论，He(s)也可以表示为标准形式：

从频率响应来看，He（s）是高通函数，而相位传递函数Hclassic（s）是低通函数。而且，从上面公式可以很快看出：

结果表明，使用这些函数可以方便地表达PLL的许多调制和噪声响应，这将有助于理解环路是如何形成噪声的。例如，相位检测器参考输入上的相位或相位噪声变化将转化为与相位传递函数成比例的VCO输出。由于相位传递函数是一个低通函数，因此，高于环路带宽的噪声将被抑制掉或者被调制。环路带宽内的压控振荡器相位噪声将根据上面给出的He(s)函数形式被抑制，这部分噪声包括分压器噪声、电荷泵噪声和晶体参考噪声。

根据上面的各个分析方程式，我们可以得到以下设计方程：

这两个方程用于根据所选择的固有自然角频率和阻尼因子的数值确定R和C的具体值。当引入额外的滤波极点时，这些值会发生变化（特别是电容器会变化很大），但用这两个公式依然可以作为非常有用的起点，可以用于许多近似值的求取上，比如建立时间、超调量，也可以用于寻找环路滤波器可能的最小热噪声。

三阶无源滤波器PLL

这是一种具备高度可用性的最简单的三阶无源滤波器PLL形式，只需要添加一个额外的电容器C1就能实现。这里引入了另一个滤波器极点，它可以抵消掉一个零点。这意味着，对于这个系统的相位频率响应而言，存在一个频率点，相位在该处取得最高峰值，然后再下降（图2）。

图2：这是一个经过正确设计的三阶PLL的开环增益频率响应曲线和相位频率响应曲线。通过设计，最大相位出现在环路带宽位置上。

环路滤波器阻抗为：

根据电路分析，上述公式中的参数如下：

开环增益函数由（G是前向通道增益的传递函数，H为反馈通道的传递函数）给出：

我们知道Kd、Ko和N这三个参数，需要选择环路带宽ωL和相位裕度φm。为了找到我们上面公式中的三个未知数A0、T1和T2，需要建立三个等式。我们从GH的增益（在ωL处为1）、GH的相位（在ωL处给出φm）以及GH的相位相对于ω的导数（在ωL处为零）求得它们。这也是现代控制理论中的基本方法。

GH的幅值为：

当ω = ωL时，该幅值为1，可以求得A0

相位裕度是一个从零度到90度的正数，它是开环相位和180度的差值：

将相位裕度视为相移相对于可变频率的导数，并在ω=ωL处将该导数设置为零，可以得到：

我们现在对两个未知数T1和T2有了两个非线性方程。 我们可以用数学方法求解出这两个未知数，但是有的参考文献中给出了一个封闭形式的解法：

现在，我们可以确定如下电路参数的值：

二阶滤波器（三阶环路）是能够实现最低噪声的滤波器形式。但是，将带宽推高之后，通常需要一个额外的滤波极点，以保证相位检测器的噪声不会污染VCO的噪声。

四阶无源滤波器PLL

这种形式使用了图3中所示的三阶滤波器，它可能是当前的VCO产品中最常见的滤波器形式。

图3：这是四阶和五阶的滤波器形式

开环传递函数由下式给出：

滤波器（传递）阻抗由下式给出：

系数A1和A2是冗长函数中参量的有用缩写（参见该参量的冗长版本）。

使用开环传递函数中的幅度频率特性：

我们接下来定义Banerjee所谓的“极值比”，设计师应根据诸如杂散排斥等因素来选择合适的极点比值。从技术上讲，这些比值可以更恰当地被称为时间常数的比率，但我们将继续使用当前控制系统领域已经建立的术语来称它们为极值比。

T31用来定义所增加的极点到虚轴的距离，我们必须使用小于1的T31，而且我们发现，将它定位0.5就可以几乎实现所有可能的杂散抑制。

开环传递函数的相位裕度由下式给出：

相位裕度出现在相位裕度函数的峰值处。以相位对可变频率取导数，然后应用ω=ωL的一阶导数为0进行计算，给出：

在选定了合适的极值比T31之后，T3=T31*T1，可以对T2和T1进行数值求解。

现在我们来看看Banerjee使用的“Gamma优化因子”。它允许使用近似，我们可以将T2的早期表达式以近似形式扩展到更高阶的循环（参考文献7，第5版，第309页），同时定义γ：

在实际设计中，该参数通常接近1，范围为0.7至1.3。

经过替换，我们可以得到这个近似值（相位裕度为相位和180度的差值）：

在上面这个表达式中，只需要求解出T1的值。当x较小时，tan-1可以近似等于x，计算得出的T1结果是：

再计算其它两个时间常数：

使用近似方法时：

我们根据以下公式计算A1和A2：

现在，对于C1、C2、C3、R2、R3这五个未知数有了四个等式，为了求解，需要找到第五个方程，Banerjee采用的方法是找到满足这些等式的C3的最大值。对上面这些等式进行一系列变换操作，可以找到C3：

使用一阶导数检验C3的峰值：

到这里为止，我们可以求解C1了，将它插入到等式40中求得C3，最终结果为：

无源滤波器五阶PLL

在环路中增加一个额外的RC环节可以在三阶滤波器的基础上对远距离杂散抑制指标进行适度改善。以一种非常近似的比较，三阶环路滤波器对二阶的改进大约是2到7分贝，四阶滤波器相对于三阶滤波器的改进大约是1-3分贝（参考文献7，第5版，第7页）。

运算放大器有源滤波器PLL

使用运算放大器的主要原因是可以扩展环路滤波器的电压范围，以允许VCO具有较大的调谐范围，相比之下，无源环路滤波器仅限于相对较低的合成器IC电荷泵输出范围。如文献2和文献3所示，有源滤波器方案可以降低Ko，提高稳定性，并降低噪声。运算放大器还允许使用阻值更小、噪声更低的电阻，并可以在运算放大器后放置一个极值最低的极点。有源环路滤波器有几种拓扑结构，这里（图4）以完整的四阶形式给出一个优选版本。

图4：这是一个有源四阶滤波器和五阶PLL，也可以选择五阶滤波器。这种滤波器被称为“慢速震荡”有源滤波器，因为输入的RC环节降低了对响应速度的要求。运算放大器的带宽限制性能有利于使用双极输入滤波器选项，将滤波器转换为五阶，将环路转换为六阶。

为运算放大器的正输入端提供一个低噪声的直流参考电压，环路和运算放大器的组合可以将运算放大器的负输入保持在相同的电压水平上。在这种形式下，运算放大器的输出将通过流过Zfor的电流“泵升”，以承受维持锁定所需的任何电压。可以选择合适的器件参数值，使这种反相形式的噪声增益很小（见第2条）。

对于传输阻抗Z（f），我们发现：

重要的一点是T4应该是最低频率的极点。

我们还发现：

作为jω的函数的开环增益是：

使用开环传递函数的幅度函数（在循环带宽处为1）：

无论是f1较低还是f3较低，最低频率的极点都应该是f4。

为了评估A0的值，我们需要得到T4和T2，然后使用选定的极值比来求得T1和T3，准确的方程形式为：

最大相位裕度出现在相位裕度函数的峰值位置，我们用ω=ωL代替出现最大相位裕度时的频率，通过一阶导数测试求取：

以上这些可以用于求出T2和T4的数值解，求出T2和T4后，通过选定的极值比导出T1和T3，对于f4以上的最低极点，极值比大约为0.5，次低极点的极值比大约为0.25。可以将下面的近似值作为求取数值解的起点：

我们可以使用γ= 1，或者根据Banerjee给出的优化标准改变它的取值。剩下的唯一变量就是T4了，我们可以求得它的数字解，或者求取近似解：

如果使用近似形式，可以进一步求得T2：

无论是数值解，还是近似解，根据选定的极值比：

现在，我们已经有了A0 = C1 C2这个等式所需的所有变量值了，然后我们可以找到所有器件的参数值：

现在我们来选择R3、C3、R4和C4的值，这看起来很简单，因为我们有它们的时间常数（RC乘积），但是这里有一些微妙的复杂性需要处理，而且还要考虑运算放大器的限制。

在运算放大器的输入端，乍看起来，似乎较小的R3可能有助于降低噪声，但事实恰恰相反。 R3的热噪声以其取值平方根的形式上升，噪声增益也会随着R3而下降，因此运算放大器输出上的R3噪声随着其取值以平方根的形式下降。 因此，我们倾向于根据其他限制允许选择最大的R3。

Banerjee给出了相位频率检测器在频率锁定模式下的占空比，它是fref和fout / N之比的函数，如下所示：

上式中的flower 取fref和fout / N中的最小值。由于大多数VCO的锁定频率和其中心频率的距离不是很远，因此占空比很少超过10％（倍频程型VCO是例外）。

我们将ΔVmC3定义为在频率锁定采集事件期间，我们希望在C3上施加的最大滤波电压和Vref的差值（比如为了符合运算放大器的输入要求）。基于此，我们可以对R3max写一个关系式：

此外，我们需要注意转换速率限制。 Banerjee提供了实验证据，如果运算放大器的转换速度不够快，则环路带宽内的1 / f相位噪声会恶化（通常会降低几个分贝）。最坏情况下的压摆率（最高值）通常对应的是频率锁定过程结束时的频率锁定情况，由下式给出：

此外，还需要注意运算放大器的带宽限制问题，不过，我们可以通过添加双极输入滤波器来减轻它的影响。它可以帮助在滤波器件对运算放大器进行频率限制，以防止有超出其指定带宽的信号到达它的输入端。

接下来，我们考虑运算放大器输出电流在C4上的限制。我们习惯于在运算放大器的数据手册上看到严格的负载限制，但是，当这些负载被直流隔离时，许多负载可以驱动10Ω甚至更小的负载，即使是大电容也是如此。不过，如果PLL上的频率发生很大变化，那么该电容会激发出较大的电流，可能会超过运算放大器的最大值，该限制值一般在10mA至100mA范围内。从根本上说，我们希望，在较大的频率变化期间，运算放大器最大电流Iopmax能够以与Dc * Ipd对C2充电相同的速率对C4充电。使用库仑定律I * t = CV：

由于尺寸和成本的原因，得到的这个最大值有时会超过我们想要在实际设计中使用的值，而且，即使进行了直流隔离，它也可能导致运算放大器的电阻值太小。在这种情况下，我们先选择R4的值，让它的其热噪声远小于运算放大器的噪声，然后再计算C4 = T4 / R4。

后面的系列文章

本文给出的传递函数能够用来揭示第2篇和第3篇文章中的噪声来源和形状，这两篇文章同时展示了推动完全集成的关键创新，以及分立VCO制造商是如何进行反击的。第4篇文章将介绍作为低噪声合成器设计者武器的关键部件和CAD工具。第5篇给出了集成和分立VCO合成器的要求和示例。

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