计量经济学需要的数学知识（计量经济学的入学必学知识点）

计量经济学需要的数学知识（计量经济学的入学必学知识点）对于一元回归模型，总结来说就三点，一建立模型形式，二收集样本数据，三进行模型分析。然后就是过于模型实例，如果要分析一个模型的拟合效果好不好，可以通过可决系数来确定，其次呢，就是通过斜率项的t检验值来分析，回归结果表可以看到x对应的t-statistic，那么题目一般是给定5%显著性水平下，就要确定出自由度，然后查对应的t统计量（0.025的t统计量），如果x对应的t统计量大于查表的统计量，则表明模型显著。 我们做回归模型，不管做什么模型，模型就是对现实生活的一种理想反映，那么肯定要有一些基本的假设，回归模型的基本假设如下：假设一，回归模型是正确设定的。假设二，随着样本容量的增加，解释变量X的样本方差趋于一个非零的有限常数。假设三、对于给定任何的解释变量，随机扰动项的均值都为0。假设四，随机扰动项具有同方差和不序列相关性。假设五，随机扰动项服从零均值和同方差的正态分布。进行回归分析的话，常见

作者：郑铿城，经济学博士，数学建模教练

计量经济学集经济理论、统计学、数学为一体，计量经济学中的模型是对现实的一种描述和模拟，计量经济学有广义的计量经济学和狭义的计量经济学，广义的是说利用经济理论、统计学和数学定量研究经济现象，狭义的是指以揭示经济现实的因果关系为目的，运用回归分析的方法进行研究。在计量经济学中，主要的两大步骤是设定模型和检验模型。在计量分析过程中，常用的数据有三种类型，分别为时间序列数据、截面数据和面板数据。一个计量经济学模型可以成功的三个主要环节是理论、方法和数据。计量经济学作为“三高”份子之一，将其牢牢掌握也是十分重要的。下面主要从一元回归模型、多元回归模型、多重共线性、异方差、内生性问题、时间序列自相关、协整与误差修正模型、固定效应面板数据模型等进行小结，不再对简单问题做过多的赘述，大部分内容采取通俗易懂的话进行分析，希望对学习计量经济学的同学有所帮助。

一、一元回归模型

为什么要做一元回归模型，是因为我们要去确定各种经济变量之间的相关关系，这里要注意的点是相关分析和回归分析的区别，相关分析只是从统计数据上测度变量之间的相关程度，并没有去考虑到因果关系，回归分析就主要研究的是因果分析，比如你通过相关分析得出A和B的相关值为0.9，这个0.9不能作为回归的系数值，只有通过回归分析，得出的值才可作为系数值。回归分析的主要目的是通过样本回归函数来尽可能准确地估计总体回归函数。

我们做回归模型，不管做什么模型，模型就是对现实生活的一种理想反映，那么肯定要有一些基本的假设，回归模型的基本假设如下：假设一，回归模型是正确设定的。假设二，随着样本容量的增加，解释变量X的样本方差趋于一个非零的有限常数。假设三、对于给定任何的解释变量，随机扰动项的均值都为0。假设四，随机扰动项具有同方差和不序列相关性。假设五，随机扰动项服从零均值和同方差的正态分布。

进行回归分析的话，常见的有三种方法：普通最小二乘法OLS、最大似然估计ML、矩估计MM。他们的原理都不相同，对于普通的OLS来说，就是在模型总体上随机抽取一些样本容量来进行观察，然后来确定这个参数估计值，这个值要拟合样本数据。ML的话，是从模型总体上随机抽取一定数量的观察样本，最合理的参数估计量应该是使得从模型中抽取该样本观察值的概念是最大的。而矩估计的基本原理是用相应的样本矩来估计总体矩。

回归分析是用样本回归线来替代总体的回归线，在回归的过程中，要进行统计检验，主要包括是拟合优度检验、变量的显著性检验以及参数检验的置信区间估计。拟合优度检验是检验模型对样本观察值的拟合效果。这里把握三个概念：总离差的平方和TSS，回归平方和ESS，残差平方和RSS，这里的可绝系数R平方就等于ESS除以TSS。变量的显著性检验，主要是用于说明解释变量是否对被解释变量有显著的线性关系，这里要注意的就是理解原假设和备择假设。

然后就是过于模型实例，如果要分析一个模型的拟合效果好不好，可以通过可决系数来确定，其次呢，就是通过斜率项的t检验值来分析，回归结果表可以看到x对应的t-statistic，那么题目一般是给定5%显著性水平下，就要确定出自由度，然后查对应的t统计量（0.025的t统计量），如果x对应的t统计量大于查表的统计量，则表明模型显著。

对于一元回归模型，总结来说就三点，一建立模型形式，二收集样本数据，三进行模型分析。

二、多元回归模型

多元回归模型的基本假设包括量回归模型的正确设立、解释变量之间不存在完全的多重共线性，随机干扰项具有条件零均值性，随机干扰项具有条件同方差以及序列不相关性，随机干扰项满足正态分布。这里注意的是多元回归模型要看的是调整的R方。

参数统计量的统计性质：线性性、无偏性、有效性和一致性。在李子奈的书中，也提到量最小样本容量问题，必须是满足n大于k 1，样本容量必须不少于模型中解释变量的数目，包括常数项。但是一般经验认为，n还是要大于30，或者大于3（k 1）。

多元回归模型中，有可能不直接表现为线性关系，那么可以运用一些方法进行转换，比如用倒数的变换等。在多元回归模型的软件输出结果框中，首先我们可以通过F值对模型的显著性做出判断，显著性5%的情况下的话，F下标就是0.05，然后通过查表，对比模型的结果和查表结果，如果模型的结果更大，则表明效果更好，然后也可以用t值，下标为0.025，自由度为n-k-1。

对于不能够直接用数量来表示的变量，在建模过程中，引入了虚拟变量，这类变量无法直接定量，需要用“0”或者“1”，来进行表示，一般来讲，比较肯定的变量用1，比较否定的变量用0，虚拟变量的引入有两种方法，一种是加分方式引入，一种是乘法方式引入。加法方式引入的话，则斜率保持相同，而截距不同。而乘法方式的引入，是斜率和截距都有可能发生变化。主要还是看这个虚拟变量你加在什么地方。

虚拟变量设置的基本原则是每一个定性变量所需的虚拟变量的个数要比定性变量的类别数少1，即如果有m个定性变量，那么就要设置m-1个虚拟变量。

三、经典单方程计量经济学模型

对于计量经济学来说，如果解释变量存在多重共线性、异方差、内生性等问题，则会导致模型结果存在偏误，故需要对模型进行检验。首先了解第一个内容，多重共线性，如果两个或者多个解释变量之间存在相关性，则表明存在多重共线性。产生多重共线性的原因包括：经济变量具有相关的共同趋势、模型设定不谨慎。多重共线性导致的后果包括：在完全共线性的情况下，参数估计量不存在，在近似共线性的情况下，OLS估计量的方差会变大，参数估计的经济意义不合理，在现实情况中，如果参数估计值的经济意义不合理的话，首先要怀疑的是存在多重共线性，变量之间的显著性和模型的预测功能会失去意义。

那么检验多重共线性的方法如下，如果是对于两个变量的解释模型的话，就采用简单的相关系数法，通过变量之间的相关系数来判断是否存在多重共线性，如果是多个解释变量的话，可以采用综合统计检验法，如果模型的R方和F值都比较大，但是各个参数估计的t统计量比较小，则说明各个解释变量之间可能存在多重共线性。可以采用逐步回归的方法来进行研究，逐个引入被解释变量，构建逐步回归模型，也可以采用差分法进行处理。

对于异方差问题，是指对于不同的样本点，随机干扰项的方差不再是常数，而是互不相同的， 则认为是出现了异方差。同方差的假定是指每个ui为荣其零平均值的方差并不随着解释变量xi的变化而变化，不论解释变量是大还是小，每个ui的方差保持相同。一般来说，截面数据更容易出现异方差问题。异方差导致的后果包括，参数估计量非有效，变量的显著性检验失去意义，模型的预测也失效。

异方差检验的方法包括：图示检验法、等级相关系数法、Gleiser检验法、巴特列特检验法等，异方差即相对于不同的样本点，也就是相当于不同的解释变量的观测值，随机扰动项具有不同的方差，那么检验异方差，也就是检验随机扰动项的方差与解释变量的观测值之间的相关性。其中white检验适用于检验任何形式的异方差，white检验的步骤：首先做基本的回归，然后得到残差项的平方和项，再做一个辅助回归。异方差修正的方法：加权最小二乘法WLS。

内生性问题（比较重要，后期单独讲）

四、时间序列计量经济学模型

时间序列数据是较为常见的一种，采用时间序列数据建立计量经济学模型，首先要对使用的统计数据构造的时间序列进行平稳性检验。事实上，大多数时间序列是非平稳的，关于经典的平稳时间序列分析模型，主要是自回归模型AR，移动平均模型MA，自回归移动平均模型ARMA。时间序列模型的序列相关性，如果模型的随机干扰项违背了相互独立的基本假设，则认为存在序列相关性。序列相关性的后果，首先是会导致参数的估计量非有效，其次，是变量的显著性检验会失去意义，最后是会导致模型的预测失去效果。处理序列相关性的方法，包括图示法、回归检验法、DW检验法等。对时间序列数据做平稳性检验，主要用到单位根检验，包括DF检验，ADF检验，具体操作后期分析。