从古到今数学的发展（谱写了一部数学发展史）

从古到今数学的发展（谱写了一部数学发展史）同理，我们还可以用面积定义π，原则上任何含π的公式都可以用来定义π，球的体积公式从圆的任一内接正多边形出发，用任何方法，使他的边数无限增加，那么这些正多边形的周长也有一个极限，这个极限是圆周长。π的定义小学数学书上说，圆周率π是（欧几里得）平面上圆周长和直径的比。这个定义有两个问题。第一，圆周是曲线，曲线的长与直线的长是不同的；第二，任何圆的周长和直径的比都一样么。对于学了数列和极限的人，证明并不困难。

上方超级数学建模可加关注

传播数学干货，学会理性的方式去思考问题

如何证明π>3.05？

其实π的计算历史也是一部数学发展史。

π的定义

小学数学书上说，圆周率π是（欧几里得）平面上圆周长和直径的比。

这个定义有两个问题。第一，圆周是曲线，曲线的长与直线的长是不同的；第二，任何圆的周长和直径的比都一样么。对于学了数列和极限的人，证明并不困难。

从圆的任一内接正多边形出发，用任何方法，使他的边数无限增加，那么这些正多边形的周长也有一个极限，这个极限是圆周长。

同理，我们还可以用面积定义π，原则上任何含π的公式都可以用来定义π，球的体积公式

，实际上这是单位元的面积

π的计算

（1）自古时至17世纪中期，此时代大都是求一个多边形等于一个已知圆的努力，或用目前的初等教科书中所述的那样纯粹几何的方法，求π的近似值，这种方法大家都知道（略）。

值得一提的是题目中的3.05，明末“四公子”之一的著名哲学家方以智，在通雅一书中有“径十七周五十二率”的记载，由此他的π=52/17=3.0588

（2）自发明微积分起，解析几何方法代替了古代的几何法。

• 1671年，苏格兰数学家詹姆斯格雷戈里公开了他发现的公式：

但遗憾的是他当时始终没有意识到这个公式为π的计算开辟了一个新的时代，令x=1得

1673年，莱布里茨发现了这个式子，后人称之为“莱布里茨公式”，它标志着用分析法中的反切式算π的开始。但是这个公式算π太慢，要求出3.14需要628项。不过用来证明也是可以的。

对各项绝对值单调减少的收敛交错级数，只用到前面一些项计算它的和，会产生截断误差，不会超过被舍弃的第一项的值。

所以，

（π≥3.058）

这里没有用到泰勒展开式，因为泰勒此时还未出生。

• 1676年，牛顿发现了一个反正弦函数的展开式

他设式子中的x=1/2，就得到

并由此算出π至14位，要证明π＞3.05，只需要取前两项即可

• 1706年，英国伦敦格雷斯汉姆大学天文学教授马青发现了一个很重要的公式：

他分别将arctan1/5和arctan1/239用格雷戈里公式展开，由此计算到π的100位小数。他的公式被长期用于算π的优秀公式之一，以至于1949年人类第一次用电子计算机计算π时，也用到这个公式。

• 1755年，欧拉发现了

奥地利数学家乔治威加，用这两个公式将π算到了143位小数，但只有前126位正确

• 欧拉还得到了

取前11项可得到π≥3.05，同理还有

利用第一项即得

• 1874年，中国清代数学家，清朝大臣曾国潘的次子曾纪鸿，左潜，黄宗宪等人在《圆率考真图解》中曾记有求π的两个反正切式，分别是

其后，曾纪鸿用了一个多月，求得π的100位小数。

• 1844年，德国数学家达什和斯特拉斯尼茨基，利用下面的公式将π算到了205位。

• 1949年，美国数学家史密斯和雷恩奇算出1121位π，创造了人工计算π的最高纪录

• 1961年，山克斯用计算机，利用公式

算出10万位。

（3）“沙-波法”即相关二次算法，这种算法基于几何平均值，这种算法产生的近似值收敛速度，比任何经典公式都快，简述如下：

设a0=1，b0=1/√2 ，s0=0.5，k=1 2 3 ...计算

然后，πk 平方地收敛于π。这就是说这个算法的每次迭代大致使正确的位数加倍，特别的，各次迭代依次产生π的1 4 9 20 42 85 173 347和697个正确数字。为了将π算到4500万个准确的十进位数字，只要25次迭代就足够了。

（4）“椭圆积分法”

这种方法建立在椭圆积分变换的理论上，我们称为“椭圆积分法”。而始作俑者就是印度传奇的数学家拉马努金，下面是拉马努金公式：

不过，拉马努金没有给出公式的证明，直到1987年才由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文给出证明。这个公式只取前两项就得到了6位准确π值。

1985年以来，椭圆积分法为一大批计算机算π提供了一新方法。

参考书目：《好玩的数学：说不尽的π》-------陈仁政

via：张冲冲（知乎）

编辑：Jade

国赛数学建模AB题 414941727

国赛数学建模CD题 493285586

超级数学建模交流群 145078056

------这里是数学怪才会关注的号------

“超级数学建模”（微信号supermodeling），数学干货、黑科学研究、科学趣史，只有你没想过的，没有理学派没做过的！

投稿邮箱：supermodeling@163.com

合作微信zwz2434