指数函数的经典难题（伸缩却不改变形状）

指数函数的经典难题（伸缩却不改变形状）其实，我们高中学的指数函数的图像就具有这种性质。 除了这些常见的图形外，你还能想到哪些平面图形具有这种性质呢？如果是竖直的线段就不行了，它如果被竖直地压缩，就会变短。所以要想被压缩之后，不改变形状，竖直线段必须上下无限延申，变成竖直直线或者竖直射线。有多条平行的竖直直线，或者无数条平行的竖直直线构成的平面图形也满足这个性质。

直觉告诉我们，物体被压缩都会改变形状。

那么今天我们来思考这样一个问题：

什么样的平面图形，不管被竖直地压缩多少倍，都不会改变形状？

首先大家能想到的，就是一条水平线段，或者水平射线，水平直线，因为这种线只有长度，没有厚度，不管怎么压缩，都不会改变。

如果是竖直的线段就不行了，它如果被竖直地压缩，就会变短。

所以要想被压缩之后，不改变形状，竖直线段必须上下无限延申，变成竖直直线或者竖直射线。

有多条平行的竖直直线，或者无数条平行的竖直直线构成的平面图形也满足这个性质。

除了这些常见的图形外，你还能想到哪些平面图形具有这种性质呢？

其实，我们高中学的指数函数的图像就具有这种性质。

首先我们先来看看压缩变换的坐标表示

（x y）---->（x ay）

这里a是一个小于1的任意正数。这样的压缩变换把函数y=f(x)的图像变成函数y=af(x)的图像。当函数是指数函数时，（e=2.718....是自然常数）变换过程是：

这里ln a是指满足ex=a的唯一实数x。

注意新的函数图像也可以由旧的函数图像向右平移|ln a|得到，因为两个函数y=f(x)和y=f(x α)的图像差一个水平方向的平移。

注意平移是不改变图像的形状的，所以这种压缩变换（x y）---->（x ay）是不改变指数函数图像的形状。

这确实有点违反直觉，所以我将这种现象称为指数函数的图像悖论。

最后，我们总结一下，加法对应平移变换，乘法对应伸缩变换，而指数函数把加法变成乘法，所以指数函数的图像每个伸缩变换都和一个平移变换效果一样！

作为指数函数的反函数，对数函数也有类似现象，这就留给读者去总结吧。