帕斯卡三角展开高次（关于帕斯卡三角的那些有趣事）
帕斯卡三角展开高次（关于帕斯卡三角的那些有趣事）第五对角线（1、5、15、35、70、126，...）包含五角形数字。第四个对角线（1、4、10、20、35、56 ...）是四面体数。这些类似于三角形编号，但是这次形成了3-D三角形（四面体）。这些数字是通过每次相加连续的三角形数字形成的，即1、1 3 = 4、4 6 = 10、10 10 = 20、20 15 = 35等。第二个对角线是顺序为（1、2、3、4、5，...）的自然数。同样，通过遵循三角形的构造模式，很容易看出为什么会发生这种情况。第三个对角线是它变得非常有趣的地方。我们有数字1、3、6、10、15、21，...。这些被称为三角形数字，因为这些计数器的数字可以排列成等边三角形而被称为。三角形数是通过每次加一个比前一次加的多来形成的。因此，例如，我们从一个开始，然后添加两个，然后添加三个，然后添加四个，依此类推。
帕斯卡的三角形是一个数字三角形，尽管很容易构造，但具有许多有趣的模式和有用的特性。
尽管我们以法国数学家布莱斯·帕斯卡尔（Blaise Pascal（1623–1662））对其进行研究和发表的名字来命名，但帕斯卡三角形是众所周知的，它是在12世纪由波斯人研究的，在13世纪和16世纪几个世纪是中国人研究的欧洲数学家。
三角形的构造非常简单。从顶部的1开始。低于此数字的每个数字是通过将其对角线上方的两个数字相加（将边缘的空白视为零）而形成的。因此，第二行是0 1 = 1和1 0 = 1 ; 第三行是0 1 = 1、1 1 = 2、1 0 = 1，依此类推。
如果我们看一下帕斯卡三角形的对角线，我们会看到一些有趣的图案。外部对角线完全由1组成。如果我们认为每个结束号在其上方始终都带有1和空格，则很容易理解为什么会发生这种情况。
第二个对角线是顺序为（1、2、3、4、5，...）的自然数。同样，通过遵循三角形的构造模式，很容易看出为什么会发生这种情况。
第三个对角线是它变得非常有趣的地方。我们有数字1、3、6、10、15、21，...。这些被称为三角形数字，因为这些计数器的数字可以排列成等边三角形而被称为。
三角形数是通过每次加一个比前一次加的多来形成的。因此，例如，我们从一个开始，然后添加两个，然后添加三个，然后添加四个，依此类推。
第四个对角线（1、4、10、20、35、56 ...）是四面体数。这些类似于三角形编号，但是这次形成了3-D三角形（四面体）。这些数字是通过每次相加连续的三角形数字形成的，即1、1 3 = 4、4 6 = 10、10 10 = 20、20 15 = 35等。
第五对角线（1、5、15、35、70、126，...）包含五角形数字。
二项式展开当处理二项式展开式时，Pascal的Triangle也非常有用。
考虑将（x y）提升为连续的整数幂。
（x y）1 = x y
（x y）2 = x2 2xy y2
（x y）3 = x3 3x2y 3xy2 y3
（x y）4 = x4 4x3y 6x2y2 4xy3 y4等
每个项的系数与Pascal三角形的行匹配。通过与三角形的第n行进行比较，我们可以利用这一事实快速扩展（x y）n，例如，对于（x y）7，系数必须与三角形的第7行相匹配（1、7、21、35， 35，21，7，1）。
斐波那契数列看看下面的Pascal三角形图。它是通常的三角形，但在其中添加了平行的斜线，每条斜线都切了几个数字。让我们将每一行的数字相加：
- 第一行：1
- 第二行：1
- 第三行：1 1 = 2
- 第4行：1 2 = 3
- 第5行：1 3 1 = 5
- 第6行：1 4 3 = 8等
通过将每行上的数字加在一起，我们得到以下序列：1、1、2、3、5、8、13、21等，也称为斐波那契数列（通过将前两个数字加到获取序列中的下一个数字）。
帕斯卡三角形的斐波那契
在帕斯卡三角形的行中还可以看到一些有趣的事实。
- 如果将一行中的所有数字相加，则将得到前一行之和的两倍，例如1、1 1 = 2、1 2 1 = 4、1 3 3 1 = 8等。这是直到连续的每个数字都涉及其下两个数字的创建。
- 如果行数是质数（在对行进行计数时，我们说前1个是零行，一对1是第1行，依此类推），那么该行中的所有数字（除1之外的所有数字）结束）是p的倍数。可以在上图的第二，第三，第五和第七行中看到。
如果您对所有奇数进行着色，那么Pascal三角形的一项令人惊奇的特性将变得显而易见。这样做可以揭示出著名的分形，即谢尔宾斯基三角形。使用的Pascal三角形的行越多，分形的迭代次数就越多。
帕斯卡尔三角形中的Sierpinski三角形
您可以在上面的图像中看到，帕斯卡三角形的前16行上的奇数着色显示了构造Sierpinski三角形的第三步。
