杨辉三角形的六种解法（伯努利数和矩阵）
杨辉三角形的六种解法（伯努利数和矩阵）对于后一个正整数n 1，其m次幂，我们根据杨辉三角，有如下二项式展开等幂求和，也就是计算连续自然数的等幂次之和。我们记前n个正整数的m次幂之和为其中组合数等于杨辉三角第n 1行的第k 1个数。接下来，我们利用杨辉三角，继续推导上一篇文章研究过的等求幂和问题。
上一篇文章《关于黎曼函数和等幂求和问题的一组有趣公式》中讨论了伯努利数与等幂和问题之间的关系。在查询有关资料的过程中，发现伯努利数和杨辉三角之间的有趣联系，在此分享给大家。
杨辉三角我们中学都学过杨辉三角，杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲杨辉三角又叫帕斯卡三角。
根据杨辉三角，我们可以直接进行二项式展开
或统一写成
其中组合数
等于杨辉三角第n 1行的第k 1个数。
等幂求和问题接下来，我们利用杨辉三角，继续推导上一篇文章研究过的等求幂和问题。
等幂求和，也就是计算连续自然数的等幂次之和。我们记前n个正整数的m次幂之和为
对于后一个正整数n 1，其m次幂，我们根据杨辉三角，有如下二项式展开
将n分别替换成n-1 n-2 ... 2 1 我们得到以下一组展开式：
等式左右两边同时求和，有
（注：对方程左边求和是从1 1 = 2开始的，所以左边还要减去一个1^m，即减去1）
注意到Cm^m = 1 可将右边最后一项移到左边，于是有
结合
得到
令m分别等于1，2，3，4，...，可得到一系列等式。
接下来是最关键的一步：将上述等式写成矩阵形式
即
这个矩阵大家熟悉吗？
只要把杨辉三角阵每一行最右边的“1”都拿掉，就是这个矩阵的系数！
由于杨辉三角在西方叫帕斯卡三角，所以数学家把这个矩阵叫做“第二帕斯卡矩阵”，而第一帕斯卡矩阵，或者就叫“帕斯卡矩阵”，就是完整的帕斯卡三角形组成的矩阵，对角线上都为1：
帕斯卡矩阵
伯努利数上一篇文章中，我们通过将等幂求和问题转化为计算函数导数的问题，推导了等幂求和公式：
其中Bs是第s个伯努利数（s=0 1 2 ...)。前10个伯努利数如下：
接下来，我们从帕斯卡矩阵的角度研究等幂求和。
前面我们得到如下矩阵等式
为了跟前面的文章一致，我们也研究前n-1项的等幂求和，即将上述矩阵中的n替换为n-1，并通过矩阵求逆，反解出Sm(n-1)。可得
系数矩阵的第一列，正是伯努利数：
1，-1/2 1/6，0，-1/30...
17世纪的数学家、哲学家、物理学家帕斯卡提出了帕斯卡三角形；
18世纪的数学家伯努利提出了伯努利数；
19世纪的数学家们逐渐提出了矩阵这一数学概念。
英国数学家A.W.F. Edwards(1935-)不无感慨地说：
How delighted Pascal must have been to learn that his own method for finding the sums of powers could be completed by inverting a matrix of coefficients of the Arithmetical Triangle!
杨辉如果有知的话，大概也会如此开心吧！
