立体几何求二面角的基础知识（探究二面角相关的立体几何综合问题）

立体几何求二面角的基础知识（探究二面角相关的立体几何综合问题）3【点评】几何法是利用定义找到二面角，通过解三角形解决问题，优点在于运算量较小，但是思维难度较大，要求学生有较强的空间想象能力．2三垂线法由一个半平面内异于棱上的一点P，向另一个半平面作垂线垂足为A，再由A向二面角的棱作垂线，垂足为B，连接PB，则∠PBA即为二面角的平面角，如图所示．

【考试说明】本专题主要探讨与二面角有关的综合问题，与空间角有关的计算是历年高考的热点，其中二面角是立体几何中常见的一种题型，也是非常重要的题型，要求学生能够综合运用线线、线面、面面之间的位置关系，解决立体几何的综合问题．二面角的计算归结为平面角的计算，由于二面角的平面角是由一点和两条射线构成的，所以二面角的转化根本上是“定点”、“定线”和“定面”的问题．主要考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力．

一

必备知识

【点评】在高考中，该类型问题的条件多以图形的形式呈现，条件隐含于图形之中，要求学生善于观察图形，通过空间想象，实际作图，抓住图形特征，综合运用题目给出的信息来解决问题．本例中求解三角形比较多，对运算要求比较高，在计算过程中，可以将涉及的三角形画成平面图形求解，减少运算失误．

2

三垂线法

由一个半平面内异于棱上的一点P，向另一个半平面作垂线垂足为A，再由A向二面角的棱作垂线，垂足为B，连接PB，则∠PBA即为二面角的平面角，如图所示．

【点评】几何法是利用定义找到二面角，通过解三角形解决问题，优点在于运算量较小，但是思维难度较大，要求学生有较强的空间想象能力．

3

向量法(理科)

【点评】向量法弥补了几何法不易找角的缺陷，但是运算量比较大，要求学生有较强的运算能力，当图形中的二面角不易作出平面角的时候，我们考虑用向量法，向量法只需按部就班利用向量的夹角公式求解即可．另外向量法求角时要注意判断平面角是锐角还是钝角，如果图形中不能判断，则要利用法向量的方向来判断法向量的夹角与二面角之间的关系是相等还是互补．

【点评】本题是立体几何综合应用中涉及最值或取值范围的问题，处理时常常采用以下两种方式：

①结合给定条件与图形特征，恰当分析取得最值时的特殊位置；

②建立坐标系之后，表示成某个变量的函数，利用函数或者基本不等式求得值域，要注意变量的取值范围．

总结：以上方法为考试中常用方法，每个题使用的方法也并不固定，其他方法本专题没有赘述．定义法、三垂线法都属于纯几何做法，其基本解题步骤为：“一作、二证、三求”，它们适合一些能直接作出平面角的题型，通过作辅助线确定平面角，作图过程中尽量将平面角置于一个理想的三角形中，进而解三角形即可．向量法实质就是代数法，借助坐标系，找对点的坐标，求对法向量是关键，对计算要求比较高．希望本文对同学们解决立体几何中的二面角问题有所帮助．