小明聊黎曼2（小明聊黎曼2）

小明聊黎曼2（小明聊黎曼2）这个概念看似复杂，其实只是说上面提到的无穷级数的和是否存在的问题。如果存在就说级数收敛，如果不存在就说级数发散。这里所说的存在是要一个确定的具体的数，无穷大不算。（当然收敛还分绝对收敛和条件收敛，这里并不牵涉到，就暂时不说了）说穿了级数就是数列前n项求和，就是我们上面提到的Sn，只不过换了一个更高大上的名字而已。无穷级数顾名思义，就是数列无穷项求和的值（这个值不一定存在）。45 26 15 78 34 67 839 1234 542 779……很显然第一个是自然数的数列，第二个是个公比为2的等比数列，很多学霸肯定在拼命的计算第三种是啥数列，在这里鞠个躬，不好意思没啥规律，就是个随机数的排列，这其实也是个数列。对于第一个数列，它的第1项是1，第2项是2，第3项是3，第n项是n；对于第二个数列，它的第1项是21，第2项是22，第3项是23，第n项是2n。n和2n就是所谓的通项

黎曼猜想其实大部分人都知道，如果用一句话概括就是黎曼函数的非平凡零点的实部都是。想介绍黎曼猜想势必离不开对黎曼函数的介绍，我们就一步步的先从最简单的说起吧。

我们先从一个大家都知道的概念出发——数列。照字面意思解释就是数的排列，比如下面几个例子都是数列

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11……

2 4 8 16 32 64 128 256……

45 26 15 78 34 67 839 1234 542 779……

很显然第一个是自然数的数列，第二个是个公比为2的等比数列，很多学霸肯定在拼命的计算第三种是啥数列，在这里鞠个躬，不好意思没啥规律，就是个随机数的排列，这其实也是个数列。

对于第一个数列，它的第1项是1，第2项是2，第3项是3，第n项是n；对于第二个数列，它的第1项是21，第2项是22，第3项是23，第n项是2n。n和2n就是所谓的通项，就是用项数n来表示数列第n项的值。我们一般用Sn表示数列前n项的和，初中数学教过我们等比和等差数列的求和公式，这里不列出了，因为和题目没什么关系。

说穿了级数就是数列前n项求和，就是我们上面提到的Sn，只不过换了一个更高大上的名字而已。无穷级数顾名思义，就是数列无穷项求和的值（这个值不一定存在）。

这个概念看似复杂，其实只是说上面提到的无穷级数的和是否存在的问题。如果存在就说级数收敛，如果不存在就说级数发散。这里所说的存在是要一个确定的具体的数，无穷大不算。（当然收敛还分绝对收敛和条件收敛，这里并不牵涉到，就暂时不说了）

调和级数指的是这么一个特殊的无穷级数，它是从1开始所有自然数的倒数的和，如下：

这个级数非常重要，请容许我这里多废话几句。

14世纪晚期，奥雷姆提出了对于调和级数趋于无穷大的证明，这个证明在今天看来也是十分简单易懂的。推导过程如下：

数学上对于这些级数以及无穷大和无穷小的量的研究被统称为分析。此后大数学家欧拉也对调和级数有更深入的研究，在1748年出版的关于分析的教科书中把它叫做《无穷小的分析引论》。（后面我们还要不断的提到这位大数学家。欧拉可以说是史上最多产的以为数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学等占3%，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年．）由于对于无穷大和无穷小的运用的不严谨导致了数学上的大混乱，也是第二次数学危机的源头。经过将近200年的时间，数学家的不断努力，最终将这两个概念提出了现代数学理论。并给于了微积分严谨的数学理论基础——极限。我上面提到的无穷大其实应该表述为，对于任意的数S，无论它多大，最终级数的和都会超过他。但是这样的表述有些繁琐，我就简单的称为无穷大了。

欧拉画像