无限循环小数化成连分数（无限循环小数和分数为什么能互相转化）

无限循环小数化成连分数（无限循环小数和分数为什么能互相转化）先看一个著名的等式无限循环小数化为分数分数能除尽等于有限循环小数，除不尽等于无限循环小数不知道大家是否想过为什么？

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扯闲篇儿

无限循环小数和分数为什么能互相转化

在我们的小学课本上有这样一句话：

分数能除尽等于有限循环小数，除不尽等于无限循环小数

不知道大家是否想过

为什么？

无限循环小数化为分数

先看一个著名的等式

0.99...=1

这是无限小数化为分数的一个特例，可以这样来证明：

设：

x=0.99...

∴10x=9.99...

∴9x=10x-x

∴9x=9

∴x=1

用这个方法，可将所有的无限循环小数化为分数

设：

x为无限循环小数，循环节为a，

即x=0.aa...

且a为n位数

∵x=0.aa...

∴10nx=a.aa...

∴(10n-1)x=a

∴x=a/(10n-1)

即

0.aa...=a/(10n-1)

例如

0.11...=1/9

0.1212...=12/99

0.123123...=123/999

分数化为无限循环小数

通过上面的式子，我们也可以将分母为(10n-1)的分数化成无限循环小数，那分母不是由一堆9组成的分数怎么办呢

当然是把它的分母变成(10n-1)了

我们知道一个分数的分子分母同时乘以相同的数(0除外) 分数大小不变。

那么我们可以将分子分母同时乘以一个数，使其分母变为(10n-1)的形式

因为(10n-1)的个位为9，而5的倍数个位为0或5，2的倍数个位一定是偶数，所以当分母为2或5的倍数时，只要将分子单独乘上几个10，使其分母不含因数2和5，将其化为小数后再把乘上的10除回来就可以了。

寻找n的值

当分数的分母不含因数2和5时，为什么一定有一个(10n-1)为分母的倍数呢

事实上，对于任意不含因数2和5自然数c，当n为不大于c且与c互素(即只有1一个公因数，也称互质)的数的个数时，(10n-1)一定是c的倍数

例如

1 2 3 4 5 6都小于7，且与7互素

则(106-1)为7的倍数(可以自己算算试试)

据此，我们可以得到：

对于任意分数b/c(c不含因数2和5)，设n为不大于a且与a互素的数的个数，m=b(10n-1)/c，则有

b/c=0.mm...

例如

5/7=0.714285 714285...

7/15=0.4666...

当b/c为有限小数时，用此公式算出来的也是无限小数的形式，但如上面所说，他们的大小都是一样的

例如

1/1=0.99...

1/2=0.499..

2/1=1.99...

至于为什么当n为不大于c且与c互素的数的个数时，(10n-1)一定是c的倍数，我们以后有空再说

未完待续

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