圆形和三角形组合求面积（巧用面积法识破圆加抛物线组合）

圆形和三角形组合求面积（巧用面积法识破圆加抛物线组合）解析：②如图2，连接AC，BE，BO，当a=√3/3，∠CAE=∠OBE时，求1/OD-1/OE的值。（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E①如图1，求证：CE=DE；

巧用面积法识破圆加抛物线组合“纸老虎”

通常在中考数学压轴题中，二次函数和圆作为综合性最强的两大知识集合，最容易出现，如果它们携手在同一道压轴题中，可想而知其难度之大。不过呢！凡事总有例外，下面这道压轴题看上去又有圆又有抛物线，然而，却是典型的“纸老虎”，看上去吓人而已，心理承受能力弱一点的学生，极易在读题伊始有心理阴影，但只要认真读完，思考，才会发现它真面目。

题目

如图，抛物线y=ax² 6ax（a为常数，a>0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（-3<t<0），连接BD并延长与过点O，A，B三点的⊙P相交于点C。

（1）求点A的坐标；

（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E

①如图1，求证：CE=DE；

②如图2，连接AC，BE，BO，当a=√3/3，∠CAE=∠OBE时，求1/OD-1/OE的值。

解析：

（1）将抛物线解析式化成y=ax(x 6)即可看出点A坐标(-6 0)；

（2）圆和抛物线都是轴对称图形，因此，利用对称轴解决会更轻松一些，不妨作抛物线对称轴x=-3，如下图：

①接PC，由于CE是⊙P切线，所以∠PCE=90°，即∠ECD ∠PCB=90°，点O与点A关于x=-3对称，且AP=OP，因此圆心P在OA垂直平分线即对称轴x=-3上，在Rt△BDF中，∠PBC ∠ADB=90°，其中∠PBC=∠PCB，∠ADB=∠CDE，于是上式变成∠PCB ∠CDE=90°，因此同角的余角相等，得到∠ECD=∠EDC，所以CE=DE；

②先解读条件a=√3/3，我们可以马上确定抛物线解析式，同时得到顶点B坐标为(-3 -3√3)，再解读条件∠CAE=∠OBE，其中∠CAE为圆周角，它和∠CBD相等，于是可得∠CBD=∠OBE，即OB是△DBE的角平分线。

顺着解读出来的条件探索：三角形的角平分线，存在如下比例关系，BD:BE=OD:OE，是不是很惊喜？发现了结论中的OD和OE？不要高兴太早，我们先证明这个结论，如下图：

对于角平分线OB来讲，点O到BD和BE距离相等，因此可得△BOD与△BOE面积比为BD:BE，仍然是这两个三角形，换成以OD和OE为底，则面积比也可为OD:OE，所以有BD:BE=OD:OE。

设E(x 0)，于是BD和BE长度可用距离公式求得，代入上述比例式中，即可找到x与t之间的关系，推导如下：

解题反思：

抛物线的条件居然在最后一问中基本没用上，只用到了点B坐标，而三角形角平分线所构成的比例线段，则巧妙地绕过了许多障碍，关于这部分内容，可以用面积法推导出来，直接运用则有超纲嫌疑，于是，平时教学过程中，对于角平分线比例线段，到底作何要求呢？

我的思考是，对于学有余力的学生，有必要进行这一推导的演练，毕竟在解题过程中，只要对比例线段的来源进行了事先证明，是可以使用的，但更大的好处在于，学生通过迅速构建三角形角平分比例线段，快速完成了解题思路，对提高整张试卷的解题信心，极有好处。

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