解三角形最值结论（经典再现31倍角三角形）

解三角形最值结论（经典再现31倍角三角形）证2：如图3，取AC的中点E，连接ME、DE。则ME∥BC，DE=1/2•AC=AE， 所以DM=ME=1/2•AC。 所以∠BME=2∠MDE， 因为∠BME=∠MDE ∠MED， 所以∠MDE=∠MED，

题：如图1，△ABC中，∠A=2∠B，CD⊥AB于D，M是AB的中点，求证：DM=1/2•AC。

思路分析：考虑求证结论，自然会想到三角形中位线定理、直角三角形斜边中线定理。为了利用这两个定理，显然需要添加辅助线，取三角形一边的中点，或连成中位线或斜边上的中线，将求证的结论进行转化为其他相关的问题。

证1：如图2，取BC的中点E，连接ME、DE。则ME∥AC且ME=1/2•AC，DE=1/2•BC=BE，

所以∠BME=∠A=2∠B，∠B=∠MDE，

所以∠BME=2∠MDE，

因为∠BME=∠MDE ∠MED，

所以∠MDE=∠MED，

所以DM=ME=1/2•AC。

证2：如图3，取AC的中点E，连接ME、DE。则ME∥BC，DE=1/2•AC=AE，

所以∠AME=∠B，∠A=∠ADE，

所以∠ADE=2∠DME，

因为∠ADE=∠DME ∠DEM，

所以∠DME=∠DEM，

所以DM=DE=1/2•AC。

如果直接考虑到∠A=2∠B，△ABC是倍角三角形，根据经验，反向延长倍角的一边与另一边相等，则可以构造两个等腰三角形，此时可得如下别具一格的证法。

证3：如图4，延长BA到E，使AE=AC，连接CE。则

∠E=∠ACE，

所以∠CAB=∠E ∠ACE=2∠E，

因为∠CAB=2∠B，

所以∠E=∠B，

所以CE=CB，

因为CD⊥AB，

所以DE=DB，

设AE=AC=b，DM=x，则

DE=b AD，DB=x MB，

因为M为AB中点，

所以MA=MB=x AD，

DB=x x AD=2x AD，

所以b AD=2x AD，

所以2x=b，x=b/2，

所以DM=AC/2.