线段和差几何问题有哪些方法（几何题的不同突破口）

线段和差几何问题有哪些方法（几何题的不同突破口）解析:(3)如图3，点M是AD中点，BC=1，当点E从点A运动到点C时，直接写出点M运动的路径长如图，点E是等边△ABC边AC上一点，连接BE，点D在BE延长线上，连接AD，且满足∠ADB=30°.(1)如图1，若点E是AC边的中点，求证：BE=DE；(2)如图2，若AE:CE=2:3，求BE:DE的值；

“倍半角”几何题的不同突破口

此处的倍半角，并不是被归纳成模型的倍半角，二者可能有联系，也可能完全没关系，只是题目条件中存在的两个角之间的倍数关系。当然，这种关系建立在若干条件基础上，便导致它们之间可以和旋转、圆产生关联。

这道题目学生在面对第2问的时候，多半很茫然，不知如何下手，因此，本文旨在研究如何找到突破口，即如何让学生想到，并提供一种讲解思路。

题目

如图，点E是等边△ABC边AC上一点，连接BE，点D在BE延长线上，连接AD，且满足∠ADB=30°.

(1)如图1，若点E是AC边的中点，求证：BE=DE；

(2)如图2，若AE:CE=2:3，求BE:DE的值；

(3)如图3，点M是AD中点，BC=1，当点E从点A运动到点C时，直接写出点M运动的路径长

解析:

(1)这一问的解法非常之多，学生上手容易，不同思维习惯会导致不同的解法过程，甚至几种解法之间还存在交叉。

最优解：由点E是AC中点，可知BE是△ABC一边上中线，由三线合一，得BE⊥AC，∠ABE=30°，于是得到△ABD为等腰三角形，再根据三线合一，得到BE=DE；

(2)这一问是本题难点，给出的线段比值如何用，需要进行思维拓展。

条件元素如下：等边△ABC，30°定角∠ADB，定点E分线段AC比例2:3.

30°和60°是二倍关系，线段的比通常情况下会和相似三角形关联，但相似找不到，这便是学生初步想法。

因此，抓住问题根本点，相似三角形在哪，题图中没有，需要添加辅助线构造，相似三角形最基本图形的是从平行线得来，那么，构造平行线显然是有效突破口。

在哪里构造平行线呢？

我们不妨把目光放在点E处，它能将线段AC分为2:3两部分，能否在线段BD上也完成这种分割？从而得到一对相似比为2:3的相似三角形呢？

其实我们在线段EB上任意取点G，连接CG，再过点A作它的平行线，都能达到目的，但30°角完全没法用上，这一对相似三角形不能继续推导下去了。

但在刚才失败的作法中，却能看出一丝曙光，△BCG有一条边在等边三角形上，而等边三角形，天然的旋转60°骨架，不如将△BCG绕点C顺时针旋转60°，如下图：

如何实现上述构思？

第一种：围绕等边三角形的构造，在BE上取点G使∠CGE=60°，将射线CG绕点C顺时针旋转60°，交DE于点G'，这样可得到等边△CGG'，这样我们证明△BCG≌△ACG'就极为容易了。

在前面全等三角形基础上，我们可得到BG=AG'，∠CBG=∠CAG'，观察∠CGG'=60°，它是△BCG的外角，因此∠CBG ∠GCE=60°，又在等边△ABC中，∠GCE ∠BCG=60°，于是得到∠CBG=∠GCE，所以∠CAG'=∠GCE，因此AG'∥CG。

通过这组平行线，我们又得到∠AG'E=60°，所以得到等腰△ADG'，AG'=DG'。

根据相似比为2:3，可得EG':EG=2:3，不妨设EG'=2x，EG=3x，于是GG'=5x=CG，回到相似三角形中去，求得AG'=10x/3，现在我们可以表示出BE=10x/3 3x=19x/3，DE=10x/3 2x=16x/3，最后得到BE:DE=19:16；

第二种：直接作垂线，分别过点B、D向AC作垂线段，如下图：

这种辅助线作法，相似三角形非常容易找到，△BEG∽△DEF，只需要求出它们的相似比即可，然而并不好求。

从另一个侧面来解读∠ADB和∠ACB的关系，它们都对同一条边AB，并且二者是两倍关系，这令人想起了圆心角和圆周角，也是对着同一条弦，是两倍关系，我们将这个圆补起来，如下图：

不妨设AE=2a，CE=3a，则AC=5a，因为BG⊥AC，由三线合一可得CG=2.5a，由勾股定理求得BG=5√3a/2，BE=√19a，如果能将DE也用含a的代数式表示出来，比值可求。

观察△DEF和△DCF，它们共一条直角边，由双勾股法可得DE²-EF²=CD²-CF²，我们可求出EG=3a-2.5a=0.5a，再设EF=b，得到DE²-b²=25a²-(3a b)²，整理得DE²=16a²-6ab；

由△BEG∽△DEF，得比例式BG:DF=EG:EF，得BG·EF=DF·EG，于是列出方程：

得到b=8a/19，于是DE=16a/√19，最后求得BE:DE=19:16.

尽管此种解法较为复杂，但这是从学生已有思路出发，“强行”突破。

(3)轨迹问题，通常寻找变化中的不变量，在上述解法二中，我们知道CD的长始终等于BC，于是再在AC上取中点N，连接MN，可得CD=2MN，即MN是△ACD中位线，就得到了一个不变的量，MN的长度始终不变，而N是定点，根据“到定点的距离等于定长”，不难想到圆的概念，因此M的轨迹一定是以N为圆心的圆上，那么它的起点和终点分别在哪里呢？

容易推导出当点E与点C重合时，点M到达终点，此时∠ANM=∠ACD=120°，于是得到轨迹长度为一条弧，半径为1/2，圆心角为120°，求出结果为π/3.

解题反思：

在解本题第2问的时候，存在多种失败的思路，其中有些只是一时的阻碍，它们经过深入研究后，可以行得通，那行不通的那些思路，基本上没能围绕比值、相似进行。两种解法中，第一种不太容易想到，毕竟那一对全等三角形缺失部分太多，较难补齐，即辅助线不太好找。第二种解法推导较为复杂，但好处是引出了隐圆，对第3问有极大帮助。

在课堂上给学生讲题，要注重课堂巡视，迅速抓住学生思考过程中的痛点，遇到阻碍了，阻碍在哪？为什么会有阻碍？如何突破？

对于学生来讲，所谓努力，就是当你的尝试失败之后，能否有足够的耐心继续将推导进行下去，并不断尝试新的方向。这需要头脑中有足够的储备，能够换方向，这些储备来自于平时的反思，如果这一步未完成，仅仅满足于不停解题，缺乏了经验积累，那多半会无所适从。

当一个学生遇到困难后，双手一摊，等着老师来讲，在我看来，这并不算努力，或者说尽力了。只有大脑全功率运转，拼命联想所学知识方法，针对本题进行尝试，终归会有一条路，能够抵达终点。

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