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线段和差几何问题有哪些方法(几何题的不同突破口)

线段和差几何问题有哪些方法(几何题的不同突破口)解析:(3)如图3,点M是AD中点,BC=1,当点E从点A运动到点C时,直接写出点M运动的路径长如图,点E是等边△ABC边AC上一点,连接BE,点D在BE延长线上,连接AD,且满足∠ADB=30°.(1)如图1,若点E是AC边的中点,求证:BE=DE;(2)如图2,若AE:CE=2:3,求BE:DE的值;

“倍半角”几何题的不同突破口

线段和差几何问题有哪些方法(几何题的不同突破口)(1)

此处的倍半角,并不是被归纳成模型的倍半角,二者可能有联系,也可能完全没关系,只是题目条件中存在的两个角之间的倍数关系。当然,这种关系建立在若干条件基础上,便导致它们之间可以和旋转、圆产生关联。

这道题目学生在面对第2问的时候,多半很茫然,不知如何下手,因此,本文旨在研究如何找到突破口,即如何让学生想到,并提供一种讲解思路。

题目

如图,点E是等边△ABC边AC上一点,连接BE,点D在BE延长线上,连接AD,且满足∠ADB=30°.

(1)如图1,若点E是AC边的中点,求证:BE=DE;

(2)如图2,若AE:CE=2:3,求BE:DE的值;

(3)如图3,点M是AD中点,BC=1,当点E从点A运动到点C时,直接写出点M运动的路径长

线段和差几何问题有哪些方法(几何题的不同突破口)(2)

解析:

(1)这一问的解法非常之多,学生上手容易,不同思维习惯会导致不同的解法过程,甚至几种解法之间还存在交叉。

最优解:由点E是AC中点,可知BE是△ABC一边上中线,由三线合一,得BE⊥AC,∠ABE=30°,于是得到△ABD为等腰三角形,再根据三线合一,得到BE=DE;

(2)这一问是本题难点,给出的线段比值如何用,需要进行思维拓展。

条件元素如下:等边△ABC,30°定角∠ADB,定点E分线段AC比例2:3.

30°和60°是二倍关系,线段的比通常情况下会和相似三角形关联,但相似找不到,这便是学生初步想法。

因此,抓住问题根本点,相似三角形在哪,题图中没有,需要添加辅助线构造,相似三角形最基本图形的是从平行线得来,那么,构造平行线显然是有效突破口。

在哪里构造平行线呢?

我们不妨把目光放在点E处,它能将线段AC分为2:3两部分,能否在线段BD上也完成这种分割?从而得到一对相似比为2:3的相似三角形呢?

其实我们在线段EB上任意取点G,连接CG,再过点A作它的平行线,都能达到目的,但30°角完全没法用上,这一对相似三角形不能继续推导下去了。

但在刚才失败的作法中,却能看出一丝曙光,△BCG有一条边在等边三角形上,而等边三角形,天然的旋转60°骨架,不如将△BCG绕点C顺时针旋转60°,如下图:

线段和差几何问题有哪些方法(几何题的不同突破口)(3)

如何实现上述构思?

第一种:围绕等边三角形的构造,在BE上取点G使∠CGE=60°,将射线CG绕点C顺时针旋转60°,交DE于点G',这样可得到等边△CGG',这样我们证明△BCG≌△ACG'就极为容易了。

在前面全等三角形基础上,我们可得到BG=AG',∠CBG=∠CAG',观察∠CGG'=60°,它是△BCG的外角,因此∠CBG ∠GCE=60°,又在等边△ABC中,∠GCE ∠BCG=60°,于是得到∠CBG=∠GCE,所以∠CAG'=∠GCE,因此AG'∥CG。

通过这组平行线,我们又得到∠AG'E=60°,所以得到等腰△ADG',AG'=DG'。

根据相似比为2:3,可得EG':EG=2:3,不妨设EG'=2x,EG=3x,于是GG'=5x=CG,回到相似三角形中去,求得AG'=10x/3,现在我们可以表示出BE=10x/3 3x=19x/3,DE=10x/3 2x=16x/3,最后得到BE:DE=19:16;

第二种:直接作垂线,分别过点B、D向AC作垂线段,如下图:

线段和差几何问题有哪些方法(几何题的不同突破口)(4)

这种辅助线作法,相似三角形非常容易找到,△BEG∽△DEF,只需要求出它们的相似比即可,然而并不好求。

从另一个侧面来解读∠ADB和∠ACB的关系,它们都对同一条边AB,并且二者是两倍关系,这令人想起了圆心角和圆周角,也是对着同一条弦,是两倍关系,我们将这个圆补起来,如下图:

线段和差几何问题有哪些方法(几何题的不同突破口)(5)

不妨设AE=2a,CE=3a,则AC=5a,因为BG⊥AC,由三线合一可得CG=2.5a,由勾股定理求得BG=5√3a/2,BE=√19a,如果能将DE也用含a的代数式表示出来,比值可求。

观察△DEF和△DCF,它们共一条直角边,由双勾股法可得DE²-EF²=CD²-CF²,我们可求出EG=3a-2.5a=0.5a,再设EF=b,得到DE²-b²=25a²-(3a b)²,整理得DE²=16a²-6ab;

由△BEG∽△DEF,得比例式BG:DF=EG:EF,得BG·EF=DF·EG,于是列出方程:

线段和差几何问题有哪些方法(几何题的不同突破口)(6)

得到b=8a/19,于是DE=16a/√19,最后求得BE:DE=19:16.

尽管此种解法较为复杂,但这是从学生已有思路出发,“强行”突破。

(3)轨迹问题,通常寻找变化中的不变量,在上述解法二中,我们知道CD的长始终等于BC,于是再在AC上取中点N,连接MN,可得CD=2MN,即MN是△ACD中位线,就得到了一个不变的量,MN的长度始终不变,而N是定点,根据“到定点的距离等于定长”,不难想到圆的概念,因此M的轨迹一定是以N为圆心的圆上,那么它的起点和终点分别在哪里呢?

线段和差几何问题有哪些方法(几何题的不同突破口)(7)

容易推导出当点E与点C重合时,点M到达终点,此时∠ANM=∠ACD=120°,于是得到轨迹长度为一条弧,半径为1/2,圆心角为120°,求出结果为π/3.

解题反思:

在解本题第2问的时候,存在多种失败的思路,其中有些只是一时的阻碍,它们经过深入研究后,可以行得通,那行不通的那些思路,基本上没能围绕比值、相似进行。两种解法中,第一种不太容易想到,毕竟那一对全等三角形缺失部分太多,较难补齐,即辅助线不太好找。第二种解法推导较为复杂,但好处是引出了隐圆,对第3问有极大帮助。

在课堂上给学生讲题,要注重课堂巡视,迅速抓住学生思考过程中的痛点,遇到阻碍了,阻碍在哪?为什么会有阻碍?如何突破?

对于学生来讲,所谓努力,就是当你的尝试失败之后,能否有足够的耐心继续将推导进行下去,并不断尝试新的方向。这需要头脑中有足够的储备,能够换方向,这些储备来自于平时的反思,如果这一步未完成,仅仅满足于不停解题,缺乏了经验积累,那多半会无所适从。

当一个学生遇到困难后,双手一摊,等着老师来讲,在我看来,这并不算努力,或者说尽力了。只有大脑全功率运转,拼命联想所学知识方法,针对本题进行尝试,终归会有一条路,能够抵达终点。

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