谈谈你觉得学习数学的作用（学习数学意义何在）
谈谈你觉得学习数学的作用（学习数学意义何在）数学在难度上的突然提升一般在初二上学期。这个时期，无论几何证明还是代数式化简，其解题对模式识别和技巧要求很高，学生需要一定量的训练，这个过程是枯燥乏味的；同时还需要一定的观察力，成绩拉开是在这个阶段，不少学生对数学兴趣丧失也是在这个阶段。这6册书的内容其实可以按照研究的内容重新整理成为3个模块。1. 中学数学有什么用？1.1 初中数学学什么？我们以现行初中数学教材（六三制）为例：
引言：作者曾在知乎平台回答一位初中生关于“学习数学，意义何在？”的提问，获得广泛好评。本文是根据作者的回答进一步修改而来，主要根据2017年课程标准和最新版中学数学教材进行了更新，同时修改了数学学科结构脉络的论述，并且增加了一些学习方法上的建议。
中学并不是高考训练营，尤其是对于刚上初中或高中的学生。本人一贯的观点，是老师应当给学生讲授一些课程以外的东西。如果老师认为学生学这些内容对考试没有用处，那学生也可以认为老师教的这些科目对他工作和生活也没有用处。毕竟，他们看到父母平时工作和生活当中的确并不太用这些东西。从这个角度上说，让学生了解要学什么、为什么要学、学了有什么用，是非常重要的。
开讲正题：学习数学，意义何在？
以下从三个方面来论述：中学数学有什么用？什么人需要学习高深的数学？数学对于非数学工作者意味着什么？
1. 中学数学有什么用？
1.1 初中数学学什么？
我们以现行初中数学教材（六三制）为例：
- 七（上）：有理数；整式的加减；一元一次方程；几何图形初步；
- 七（下）：相交线与平行线；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式和不等式组；数据的收集、整理与描述；
- 八（上）：三角形；全等三角形；轴对称；整式的乘法与因式分解；分式；
- 八（下）：二次根式；勾股定理；平行四边形；一次函数；数据的分析；
- 九（上）：一元二次方程；二次函数；旋转；圆；概率初步；
- 九（下）：反比例函数；相似；锐角三角函数；投影和视图。
这6册书的内容其实可以按照研究的内容重新整理成为3个模块。
- 代数模块：有理数；整式的加减；一元一次方程；实数；平面直角坐标系；二元一次方程；不等式和不等式组；整式的乘法与因式分解；分式；二次根式；一次函数；一元二次方程；二次函数；反比例函数。
- 几何模块：几何图形初步、相交线与平行线；三角形；全等三角形；轴对称；勾股定理；平行四边形；旋转；圆；相似；锐角三角函数；投影和视图。
- 统计模块：数据的收集、整理与描述；数据的分析；概率初步。
数学在难度上的突然提升一般在初二上学期。这个时期，无论几何证明还是代数式化简，其解题对模式识别和技巧要求很高，学生需要一定量的训练，这个过程是枯燥乏味的；同时还需要一定的观察力，成绩拉开是在这个阶段，不少学生对数学兴趣丧失也是在这个阶段。
1.2 高中数学学什么？
1.2.1 原新课标高中教材：
必修部分：
- 必修1：集合；函数（概念、性质、一次函数和二次函数）；基本初等函数I（指数函数、对数函数和幂函数）
- 必修2：立体几何初步（空间几何体、位置关系）；解析几何初步（平面直角坐标系、直线方程、圆方程、空间直角坐标系）
- 必修3：算法初步；统计；概率
- 必修4：基本初等函数II（三角函数）；平面向量；三角恒等变换
- 必修5：解三角形；数列；不等式
选修1系列（文科）：
- 1-1：常用逻辑用语；圆锥曲线与方程；导数及其应用
- 1-2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引入、框图
选修2系列（理科）：
- 2-1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间向量与立体几何
- 2-2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数
- 2-3：计数原理、概率、统计案例
其他选修课
- 3-1数学史、3-3球面几何、3-4对称与群论、4-1几何证明选讲、4-2矩阵与变换、4-4坐标系和参数方程、4-5不等式选讲、4-6初等数论初步、4-7优选法与试验设计初步、4-9风险与决策。
很多省份高考选考题是从4-1几何证明选讲、4-4坐标系和参数方程、4-5不等式选讲这三部分中出题，应该说是比较适应大学高等数学的学习的，但没选择矩阵还是令人遗憾。
1.2.2 新版新课标高中教材
必修A版共两册：
- 第一册：集合与常用逻辑用语；一元二次函数、方程和不等式；函数的概念和性质；指数函数与对数函数；三角函数
- 第二册：平面向量及其应用；复数；立体几何初步；统计；概率
必修B版共四册：
- 第一册：集合与常用逻辑用语；等式与不等式；函数；
- 第二册：指数函数、对数函数与幂函数；统计与概率；平面向量初步
- 第三册：三角函数；向量的数量积和三角恒等变换；
- 第四册：解三角形；复数；立体几何初步
选择性必修（教材未出）：
- 函数模块：数列；导数
- 几何模块：空间向量与立体几何；平面解析几何
- 统计模块：计数原理；概率；统计
1.2.3 高中内容的归纳
高中内容也可大致归纳为三个模块：
- 函数与代数模块：集合与常用逻辑用语；函数的概念和性质；初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数包括三角恒等变换）；平面向量（平面向量初步、向量的数量积、解三角形）；等式与不等式；数列；导数
- 几何模块：1）立体几何—空间几何体；空间位置关系；空间向量与立体几何；2）解析几何—直角坐标系；直线与方程；圆与方程；圆锥曲线与方程
- 概率与统计模块：统计与概率（数据的收集、特征和表示、样本估计总体；随机事件和独立性、古典概型）；计数原理（排列组合、二项式）；统计（相关和回归）；概率（随机变量和条件概率）
1.3 中学课程与大学课程的衔接
数学根据研究对象的不同，可以并不准确地划分为简单的四个部分：
- 代数的研究对象是代数结构和运算法则；
- 几何的研究对象是图形性质和空间关系变化；
- 分析的研究对象是函数也就是变量关系的性质；
- 数论的研究对象是整数的性质。
之所以说并不准确，是因为数学学科作为一个门类，各个部分之间彼此联系得非常紧密，各个专门领域之间相互借鉴之处甚多，很难严格地将它们互相区分。例如初中数学中的函数图像，高中数学中的三角函数、解析几何、向量，都是这方面的典型体现。
一般而言，如果不是专门研究数学的大学生，在本科阶段会学到高等数学、线性代数、概率论和数理统计这三门课程中的两到三门。高等数学就属于分析范畴，线性代数属于代数范畴，概率论和数理统计属于应用数学范畴，但需要分析和代数工具。几何和数论一般只有数学系和少数专业学习。
中学数学知识是学习大学数学知识的基础，这就是学习中学数学的意义所在。下面我们来大致梳理一下中学数学知识的联系，看看它们是如何构成大学数学的学习基础的。
1.3.1 代数与分析
小学我们做的计算题都是数的运算，结果就是一个数，所以学的都是数的运算法则。到了小学高年级，我们开始学到用字母表示数，这叫做代数式。
“代数”是晚清数学家李善兰译介到中国来的，取其“以字代数”之意。代数式是一种语言体系的转换，我们可以通过这种方式构造公式，将运算一般化，得到通用的解法；等到面对具体问题时，在将具体的数代入公式中，就可以解决问题了；而代数研究的目的就是寻求通用的解法。公元820年，波斯数学家花刺子模发表了一份代数学领域的专著，阐述了一次和二次方程的通用解法，明确提出了代数中的一些基本概念，把代数发展成为一门与几何相提并论的独立学科。书名中首次使用了al jabr一词，其含义是“重新整合”，也就是移项与合并同类项。 转译为拉丁语后，变成了 algebra，后来又进入了英语。这就是“代数”一词的词源含义。
随着处理的数字越来越复杂，加减乘除的四则运算不能够得到自然数的结果，在小学我们学到了小数、分数，到了中学学到了负数，这样我们把原来的数的研究范围扩展为有理数，这叫做数系的扩充。这样我们使得运算的范围扩大了。
然后我们开始学习整式（字母不做分母的代数式，包括单项式和多项式）的加减和乘法，并且学了整式乘法的逆运算——因式分解，即如何将一个复杂多项式转化成简单多项式的乘法；并且从另一条主线上，我们也学习了整式方程即一元一次方程、二元一次方程和不等式。整式也能够做除法，变成分式，同时也可以做分式方程。但是，在解一元二次方程时遇到了开方问题，这种运算与四则运算不同，得到的结果不一定是有理数，于是我们接受了无理数的存在，并将数系扩充到实数。开方运算有一些特殊的运算法则，例如负数不能开平方之类，这种法则同样代数式同样要遵守，这就是根式。有了这些基础，一元二次方程的问题就能够解决了，我们得到了一元二次方程的通用解法——求根公式。
学了好了基本的运算（加减乘除和开方）和方程以后，引入了函数，引入函数以后，数学的语言体系就又提高了一个新的层次。研究函数和应用函数，是分析的主要任务。函数之重要性，说它是现代数学最重要的概念也不为过。世界上的事物是普遍联系的，但是传统的自然哲学对这种联系的分析都是定性的：比如用火加热，水的温度就会上升；用力越大，弹簧拉得越长；而现代科学则需要对这种联系进行定量分析，找到联系的普遍规律，这就需要用到函数工具。初中物理里的关于加热的公式Q=Cm(T2-T1)、弹簧受力的公式N=k(x-x0)以及高中物理的万有引力公式F=GMm/r2，本质上都是这种借助函数工具进行定量研究的产物。函数是中学数学承上启下的核心知识，初中函数的应用基本是在解方程和不等式上，而高中数学除了一部分几何和统计知识以外，几乎完全建构在函数理论之上。
高中数学首先引入集合语言，引出后文对函数的定义。集合论是现代数学各个分支领域的基石，但是高中水平的数学几乎用不到这个东西，只需要会进行简单的集合运算就可以。然后开始深入研究函数的单调性、奇偶性等一般性质，初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数）的特殊性质，以及一种自变量为正整数，因变量为实数的特殊函数——数列，即实数序列。三角函数引出平面向量，其运算法则反映出的向量代数也是一次数学语言的重大飞跃：我们发现能够运算的不仅是数和代数式，还有有序的数和代数式。然后是不等式，你也许会疑惑学这么复杂的不等式干什么，但到了大学学习真正的数学分析就会知道，不等式证明技巧是学习数学分析必备的本领。这些基础打牢以后，就开始学习极限和导数，高中数学到此就戛然而止了。函数、数列、不等式、导数是高中数学最难的部分，这些也是高等数学基础的基础。高考题的最后一题，基本上就是函数、数列、不等式和导数的综合应用。
到了大学，接续这部分的内容就是大名鼎鼎的高等数学，其中绝大多数内容也就是微积分。数学专业则学习数学分析，这是用更严密的论证体系来学习微积分。不过，无论是高数、数分，研究的函数都比较直观，基本上都是连续函数，或者说黎曼可积函数。而不满足上述条件的实函数，则需要基于集合论、测度论和勒贝格积分的实变函数理论来研究。在另一个方向上，函数的变量也不都是实数，如果变量是复数，则由复变函数或者复分析这门学科来研究。自变量除了数以外，还可以是函数，函数的函数叫做泛函，研究泛函以及无限维空间变换的理论叫做泛函分析，这是比实分析和复分析更加抽象的数学。此外，方程中也可以用微积分，研究如何求解包含微积分的方程的领域叫做微分方程，其中研究包含一元函数微积分的叫常微分方程，研究包含多元函数微积分的叫偏微分方程。分析领域的各个学科都跟理论物理的学习和研究有很大的关联。
高中的平面向量和空间向量，其主要作用是为解三角形和立体几何证明打基础，从应用角度讲算作几何模块更恰当。学到平面向量和空间向量，中学代数的内容就戛然而止了。到了大学，一次方程组被重新拉回视野。因为一次函数的图像是一条直线，所以一次方程组也叫线性方程组，线性代数就是从研究线性方程组的通用解法开始入门。通过运用n元向量、矩阵和行列式，最终得到了线性方程组的通用解法——克莱默法则。与此同时，我们运算的对象也扩展到了向量和矩阵；我们发现，这些运算很相似，都有类似的结构，数学家将其进一步抽象为线性空间，并将研究线性空间的性质和变换作为线性代数的主要任务。而我们直观上能够感受到的三维空间，则是线性空间的一种特殊形式。为了研究这种特殊形式，引入了双线性函数和二次型，得到了内积运算，进而将线性空间特殊化为度量空间，这样线性空间理论就有了能够用于几何研究或解决实际问题的用途。线性空间是最简单的代数学研究对象，除此以外代数学的研究对象还有群、环、域等，研究这些对象及其性质的后续课程叫做抽象代数或者近世代数。初中几何遇到的三等分角、立方倍积和化圆为方三大不可作图问题的证明就需要用到抽象代数的知识。高中选修3-4对称与群、4-2矩阵与变换，分别对应着群论（抽象代数的部分内容）和矩阵代数（线性代数的简单部分），可以课余时间读一读。
1.3.2 几何
几何的英文是Geometry，Geo-是“大地”的词根，-metry是“测量”的词根。Geometry直接意思就是“土地测量”。几何起源于古埃及，因为埃及的尼罗河每年的周期性泛滥带来大量肥沃土壤，但是土地的分界也都会被冲毁，因此每年古埃及人都要重新丈量土地，在长期实践中总结的测量技术逐渐发展成为最初的几何学；古希腊文明是海洋文明，同样有测量的需求，这些学问从中东和北非传入希腊后，希腊的学者逐渐将其发展为一种纯粹的学术，其中集大成者就是欧几里得的《几何原本》。这本书从少数的定义、公理和公设出发，通过严密的逻辑推理，构建了一个庞大的几何体系，影响至今。明朝时，徐光启和利玛窦翻译《几何原本》时，根据西文Geometry前两个音节的发音而来。
初中几何就是平面几何，再严格就是平面欧几里得几何，基本内容就跟标题一样：先介绍几何图形（点线面体、线段、角），然后介绍直线基本关系（相交和平行），同时介绍公理、定理和证明的概念，之后就是三角形、四边形和相似形的花式证明，就是记忆各种定理和训练证明技巧；接着就学习三角函数和圆的花式证明。我中考那会儿只考三角函数和圆，因为三角函数是高中学三角函数的基础，圆是学解析几何的基础。而且圆的证明是杂糅三角形、四边形和相似形的各种技巧，所以基本上前面的知识也都能带上。
高中几何基本上就是解析几何和立体几何。解析几何就是应用函数来研究图形，除了直线和圆以外，还研究圆锥曲线。立体几何也分成两个部分，一部分研究几何体，就是各种求体积，背公式就可以；一部分研究空间关系，就是平面几何的升级版（有的地区使用立体向量来解决，这是现代数学的方法，应该大力提倡）。
大学的几何学，最基础的是空间解析几何，跟高中立体几何平面算空间向量和平面解析几何给定坐标轴然后死磕圆锥曲线不同，空间解析几何最重要的内容是各种变换，把图形和坐标轴变来变去来研究图形性质。除此以外，还有更高级的课程研究几何图形的细节、变化或者更高维空间的几何图形，诸如利用微积分研究几何图形的微分几何和微分流形，研究几何图形连续性和变化的拓扑学（包括点集拓扑、代数拓扑、微分拓扑等），还有当今数学界最热门的前沿学科代数几何。
1.3.3 概率与统计
初中的统计模块，主要强调对数据的整理和基本处理，比如如何抽样（简单抽样、分层抽样之类），如何做统计表和统计图来展示数据，计算简单的统计量（均值、众数、中位数、方差、标准差、极差之类），以及初步了解什么是概率。高中的学习深度增加，概率的必修部分研究随机事件的等可能性和独立性，进而引出古典的概率计算模型——古典概型。选修部分先讲解计数原理和排列组合，给计算事件可能性提供了基础；然后介绍条件概率、随机变量和分布、数学期望和方差。统计必修部分也是讲解数据的收集、特征和表示，以及如何通过样本数据来估计总体；选修部分则关注回归分析和独立性检验。概率和统计的思想很重要，是评价一个人科学素养的重要指标。不过没有高等数学工具，高深的统计学理论是不严密的，很容易让学生知其然而不知其所以然。所以一般而言，中学阶段概率和统计的题目大部分都只需要按部就班的计算，难度都不算高。
进入大学，概率论和统计学一般安排在微积分和线性代数修完以后。概率论首先是介绍随机事件的概念，介绍古典概型、几何概型的应用和缺陷，为了克服古典理论的缺陷，苏联大数学家柯尔莫格罗夫提出了基于集合论的现代概率论公理化体系；随后介绍随机变量和随机向量（多元随机变量）及其分布，学习如何从已知随机变量的分布去求解未知随机变量的分布，之后介绍了期望、方差和特征函数，最后介绍大数律与中心极限定理——大数律告诉我们，一旦随机事件的大量重复出现，其结果往往呈现几乎必然的规律；中心极限定理告诉我们，大量重复的随机事件产生的随机变量，其均值近似服从正态分布。概率论是统计学的基础，统计学是概率论的应用，两者相辅相成，各种统计量的计算就是基于概率论的基本原理。统计学则大致可以分为参数估计和统计推断两大范畴：参数估计研究如何从样本数据中得到优良的统计量来估计总体的参数；统计推断简单来说就是研究如何比较两个样本是否存在差异的，这其中包括成组比较、配对比较、方差分析、回归分析、独立性检验等方法。普通统计学讲的是实务，就是讲什么条件下用什么方法才能得到令人信服的结果；数理统计学讲的是理论，就是讲每种统计方法为什么是有效的。统计学是现代实验科学的基石，可以说没有统计学，实验数据无法有效处理，难以产生有说服力的结论，科学的进步也就成为空中楼阁。
概率和统计领域也同样有一些后续课程，例如研究复杂随机现象的随机过程和时间序列分析、基于测度论的高等概率论、研究多变量的多元统计分析、金融领域应用广泛的精算理论和风险理论等。
二、什么人需要学习高深的数学？
数学系的每个专业都需要高深的数学。就北大数学学院而言，就有数学与应用数学专业（基础数学和金融数学两个方向），统计学专业（统计学和概率论两个方向）和信息与计算科学专业（计算数学和信息科学两个方向）。所有的专业都必修的课：数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、抽象代数、复变函数、概率论和数学模型。另外，每个方向会在各自领域进行不同程度的深化学习。
物理系的各个专业都需要高深的数学。物理系的四大力学（理论力学、统计力学、电动力学和量子力学）充满了数学，甚至可以说完全就是应用数学课。此外，还有数学物理方法课程，同样是应用数学课。所以，物理系（包括天体物理、天文学专业）需要用到的数学比一般的理科专业要多。具体需要多少还是跟方向相关，不同专业还有可能涉及到泛函分析、抽象代数、微分几何、非欧几何。
计算机专业需要高深的数学。除了高数、线代和概统之外，至少还需要集合论和图论，数理逻辑，算法分析、代数结构、组合数学、数值方法等专业的数学课程来为计算机语言逻辑和数字技术打基础。
化学专业需要一定程度的高深数学，跟方向关联较大。物理化学要用到偏微分方程，结构化学要用到群论，还需要量子力学的知识，而学好量子力学的前提是学好线性代数和偏微分方程。
工科专业几乎所有都是以数学、物理学（或化学、生物学）和计算机作为其理论基础的，数学要求自然是比较高的，尤其是涉及物理的相关专业，比如机械、电机、电子、土木、水利等专业，对数学的要求非常高。
经济学（包括会计和管理）专业需要一定程度的高深数学。计量经济学是现代经济学的灵魂，只有涉及数学方法的经济学探讨才是真正意义上的学术探讨。计量经济学几乎就可以翻译成经济统计学，本身就是数学方法课程。
金融学专业涉及到许多随机变化，除了经济数学之外，对概率论方面要求非常高，除此外还需要学习风险评估，至少涉及随机过程、时间序列分析、优化设计和金融数值方法之类的数学课程。
社会学专业也有专门的社会学统计方法课程，自然是涉及概率论和统计学，那也自然而然需要高等数学的基本知识。生物学和医学专业也有专门的生物统计学方法课程，自然也需要高等数学基本知识。
哲学专业，恐怕也都需要对数学的基本了解，毕竟现代哲学一大流派是分析哲学，对数学和逻辑学基础的研究恐怕连数学专业都望尘莫及呢。另外，科学哲学也要了解现代科学到相当专业的程度，很多研究者本身就是数学和物理的科班出身。
本科阶段完全不涉及数学的专业，恐怕也只有文学专业、历史专业、外语专业和政法专业。然而政治专业从来都没办法脱离经济学看问题，还是多多少少会涉及一些经济学知识；政策分析需要运筹和规划的方法，需要对成本收益进行量化计算，需要基于博弈论进行政策推演，这些都是数学在政治领域应用的实例。文学领域有专门根据计算机大数据分析文本来分析写作风格和进行考证，历史领域也有运用数学方法对历史资料进行定量分析的计量史学方法，这些也需要基本的统计知识。法律专业有一个方向叫知识产权法，需要从业者不仅熟悉法律本身，还要对知识产权相关专业有所了解，而这些专业往往都是理科专业。
三、数学对于非数学工作者意味着什么？
我们从小学开始，一直在学习数学，一直到大学还在学习数学。小学数学教会我们计算，这是数学当中最有用的部分，每个人都在用，每个人都会在生活中应用，因为亲切直观。到了初中以后，数学逐渐越来越失去它的直观性，开始露出它本来的面目——抽象，而且越学越复杂，越学越抽象。我们不清楚学习这么复杂抽象的数学有什么意义。直到有一天，我们发现我们学习的物理变成了这个样子：
节选自《朗道理论物理学教程·力学》
我们学习的化学变成了这个样子：
节选自《结构化学基础（第4版）》
我们学的专业变成这个样子：
节选自《进化动力学——探索生命的方程》
节选自《罗默高级宏观经济学》
于是我们明白数学的作用，于是书到用时方很少之感油然而生。
对于非数学工作者来说，数学是一种书面语，跟中文、外语的书面语一样，是精确表达的一种方式。通过这种表达方式，我们可以把一个科学理论严格化、抽象化，使它更容易被理解和使用。没错，是更容易被理解；但是对于不懂这门语言的人，就会觉得跟天书一般。
同时，数学跟外语一样，也是认识世界的一种方式。原来无法解决的科学问题，往往通过新的数学方法就迎刃而解，比如微积分、矩阵、群论、非欧几何，就把原来看来极其复杂的问题变得非常容易解释。而对于不懂这门语言的人，就无法进入这个缤纷多彩的世界。（比如好多人对量子力学感兴趣，但是没有数学基础，就很难深入其中了）
写得这么多，就到这里吧。
