高等数学同济第七版第四章笔记（数学笔记-同济第七版高数）

高等数学同济第七版第四章笔记（数学笔记-同济第七版高数）则：f(x)=f(0) f'(0)x (f''(0)/2!)*x^2 ...... (f^(n)(0)/n!)*x^n Rn(x)若：x0=0Rn(x)=[f^(n 1)(x0)/(n 1)!]*(x-x0)^(n 1)证明： 对Pn(x)进行求导： Pn'(x)=f'(x0) [f''(x0)/2!]*(x-x0)^2 ... [f^(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n Pn''(x)=f''(x0) ... [f^(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n Pn^(n)(x)=f^(n)(x0) Pn^(n 1)(x)=0 因此 f(x0)=Pn(x0) f'(x0)=Pn'(x0)......f^(n)(x0)=Pn^(n)(x0) 令Rn(x)=f(x)-Pn(x) Rn(x0)=0 Rn'(x0)=0......Rn^(n)(x0)=0 Rn^(n 1)(x) =f^(n 1)

一、泰勒中值定理

定理：

设f(x)在x=x0邻域内(n 1)阶可导，则：

f(x)=Pn(x) Rn(x)，其中：

Pn(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0) [f''(x0)/2!]*(x-x0)^2 ... [f^(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n

Rn(x)=[f^(n 1)(x0)/(n 1)!]*(x-x0)^(n 1)

证明： 对Pn(x)进行求导： Pn'(x)=f'(x0) [f''(x0)/2!]*(x-x0)^2 ... [f^(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n Pn''(x)=f''(x0) ... [f^(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n Pn^(n)(x)=f^(n)(x0) Pn^(n 1)(x)=0 因此 f(x0)=Pn(x0) f'(x0)=Pn'(x0)......f^(n)(x0)=Pn^(n)(x0) 令Rn(x)=f(x)-Pn(x) Rn(x0)=0 Rn'(x0)=0......Rn^(n)(x0)=0 Rn^(n 1)(x) =f^(n 1)(x)-Pn^(n 1)(x) =f^(n 1)(x) 由柯西中值定理 Rn(x)/(x-x0)^(n 1) =[Rn(x)-Rn(x0)]/[(x-x0)^(n 1)-(x-x0)^(n 1)] =Rn'(ξ1)/[(n 1)(ξ1-x0)^n]（ξ1在x与x0之间） =[Rn'(ξ1)-Rn'(x0)]/[(n 1)(ξ1-x0)^n-(n 1)(x0-x0)^n] =Rn''(ξ2)/[n(n 1)(ξ2-x0)^(n-1)]（ξ2在x0与ξ1之间） 、、、、、、 =[Rn^(n)(ξn)-Rn^(n)(x0)]/[(n 1)n...2(ξn-x0)-(n 1)!(x0-x0)] =Rn^(n 1)(ξ)/(n 1)!（ξ在x0与ξn之间） =f^(n 1)(ξ)/(n 1)! =>Rn(x)=[f^(n 1)(ξ)/(n 1)!]*(x-x0)^(n 1) 二、麦克劳林公式

在泰勒公式：

f(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0) [f''(x0)/2!]*(x-x0)^2 ... [f^(n)(x0)/n!]*(x-x0)^n Rn(x)中

若：x0=0

则：f(x)=f(0) f'(0)x (f''(0)/2!)*x^2 ...... (f^(n)(0)/n!)*x^n Rn(x)

推论：f(x)在x=x0邻域内n阶可导，则对任意的x0去心邻域内点x都有：

f(x0=Pn(x) o((x-x0)^n)

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Rn(x)的两种表达形式：

（1）拉格朗日型：[f^(n 1)(ξ)/(n 1)!]*(x-x0)^(n 1)

（2）皮亚诺型：o((x-x0)^n)