高等数学上微分知识点总结（数学笔记-同济第七版高数）

高等数学上微分知识点总结（数学笔记-同济第七版高数）（1）对于任意x1 x2∈D 且x1≠x2 有f((x1 x2)/2)<[f(x1) f(x2)]/2 称f(x)在D内为凹函数证明： 设f'(x)>0 (a<x<b) 对于任意的x1 x2∈[a b]且x1<x2 f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1) (a<ξ<b) 因为f'(ξ)>0 x2-x1>0 所以f(x2)-f(x1)>0 所以f(x2)>f(x1) 得证！ 二、曲线的凹凸性1、y=f(x) (x∈D)定理：f(x)∈c[a b] (a<x<b)（1）若f'(x)>0 (a<x<b) 则f(x)在[a b]区间内单调递增（2）若f'(x)<0 (a<x<b) 则f(x)在[a b]区间内单调递减

一、函数单调性

1、y=f(x)，（x∈D）

（1）对于所有的x1 x2∈D 且x1<x2 有f(x1)<f(x2) 则f(x)在D上单调递增

（2）对于所有的x1 x2∈D 且x1<x2 有f(x1)>f(x2) 则f(x)在D上单调递减

2、增减性判别法：

定理：f(x)∈c[a b] (a<x<b)

（1）若f'(x)>0 (a<x<b) 则f(x)在[a b]区间内单调递增

（2）若f'(x)<0 (a<x<b) 则f(x)在[a b]区间内单调递减

证明： 设f'(x)>0 (a<x<b) 对于任意的x1 x2∈[a b]且x1<x2 f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1) (a<ξ<b) 因为f'(ξ)>0 x2-x1>0 所以f(x2)-f(x1)>0 所以f(x2)>f(x1) 得证！ 二、曲线的凹凸性

1、y=f(x) (x∈D)

（1）对于任意x1 x2∈D 且x1≠x2 有f((x1 x2)/2)<[f(x1) f(x2)]/2 称f(x)在D内为凹函数

（2）对于任意x1 x2∈D 且x1≠x2 有f((x1 x2)/2)>[f(x1) f(x2)]/2 称f(x)在D内为凸函数

2、凹凸性判别法

引理：设f(x)二阶可导，且f''(x)>0 x0∈D

则f(x)>=f(x0) f'(x0)(x-x0) 且"="成立 <=> "x=x0"

证明： 由泰勒公式： f(x)=f(x0) f'(x0)(x-x0) [f''(ξ)/2!]*(x-x0)^2 (ξ介于x0与x之间) 因为f''(x)>0 所以R(x)=[f''(ξ)/2!]*(x-x0)^2>=0且R(x)=0 <=> x=x0 所以f(x)>=f(x0) f'(x0)(x-x0) 所以"="成立 <=> x=x0

定理：f(x)∈c[a b] 且在(a b)内二阶可导

（1）若f''(x)>0 (a<x<b) 则y=f(x)图像在[a b]上为凹

（2）若f''(x)<0 (a<x<b) 则y=f(x)图像在[a b]上为凸

证明： 设f''(x)>0 (a<x<b) 对于任意x1 x2∈(a b) 且x1≠x2 x0=(x1 x2)/2 因为f''(x)>0 所以x≠x0时 f(x)>f(x0) f'(x0)(x-x0) 取x=x1 x=x=2有 f(x1)>f(x0) f'(x0)(x-x0) （1） f(x2)>f(x0) f'(x0)(x-x0) （2） =>[f(x1) f(x2)]/2>f(x) f'(x0)(x-x0) 因为x0=(x1 x2)/2 所以[f(x1) f(x2)]/2>f((x1 x2)/2) 所以y=f(x)在[a b]内图像为凹