黄金狂热形态（从黄金多面体到欧拉特征）

黄金狂热形态（从黄金多面体到欧拉特征）球极投影:极点被投影为无穷远点球形灯罩所谓的欧拉示性数，即关于该公式的证明很多，我们从转化为图论中的平面图问题去入手证明。我们用一个稍大的球形灯罩包住凸多面体，在多面体内放入点光源，多面体上的顶点和棱被投影在球形的灯罩内壁，于是投影形成了球面的一个剖分：将球面分割为若干个块（连通的区域）。然后再对球面施行球极投影 （极点选取非棱上的点），即可将凸多面体化为平面图。需要注意的是，球面极点被投影为无穷远点，于是极点所在的面不同于其他面的像为有界的，前者的像是无界区域。

作者 | 三川啦啦啦

来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

楔子

黄金多面体为什么只有五种（仅有的正面体， ）？

设凸多面体的顶点数为，棱数为，面数为，则满足欧拉多面体公式：

所谓的欧拉示性数，即

关于该公式的证明很多，我们从转化为图论中的平面图问题去入手证明。

凸多面体等价于平面图

我们用一个稍大的球形灯罩包住凸多面体，在多面体内放入点光源，多面体上的顶点和棱被投影在球形的灯罩内壁，于是投影形成了球面的一个剖分：将球面分割为若干个块（连通的区域）。然后再对球面施行球极投影 （极点选取非棱上的点），即可将凸多面体化为平面图。需要注意的是，球面极点被投影为无穷远点，于是极点所在的面不同于其他面的像为有界的，前者的像是无界区域。

球形灯罩

球极投影:极点被投影为无穷远点

将多面体化为平面图

平面图完美继承了原来多面体的顶点、棱、面，于是问题转化为证明平面图 是否满足欧拉公式。所谓平面图，就是边与边可以“不打架”（无顶点以外的交点）放置在平面上的简单连通图。

证明

用数学归纳法证明是最自然的想法：先假设对于所有的顶点数的平面图，命题成立，然后再证明对也成立即可。新添加的顶点 有两种情况：

• 落在某个多边形内。然后与该多边形的部分顶点连接，于是形成新的边，构成了新的平面图

  此时满足：

  
  

• 落在多边形的边上。此时增加的棱数，增加的面数 ，则

另外补充一点，如果我们在已有的顶点的基础上，只添加新的边，那么依然有

于是总是有

故欧拉示性数是一个不变量。

证明的主体已经完成，但我们需要说明，为什么这个不变量偏偏等于？我们从最简单的例子开始。对于圈而言，将平面分为内外两个面，而顶点数与边数相等，故

证毕。

回到我们最开始的疑问，为什么黄金多面体只有五种？这还需要借助一个关系式

其中表示黄金多面体每个面是正多边形，表示每个顶点处与条边相连。无论是还是，都是将每一条边算了两次，这就是为什么该等式成立。最后在联立方程

最终可以得到结论，具体的计算就留给读者吧。

与Jordan闭曲线定理的关系

行文至此似乎也走到了终点。不过我关注到这样的一个简单的事实：如果，那么自然有 此时欧拉示性数与相等。而顶点与边数相等的平面图，只能是“圈”，如下图。

而一个圈可以将平面（球面）分成内外两个区域（Jordan闭曲线定理），这就是平面（球面）的重要特征。有没有一个圈不能将某个空间分成两个不连通的区域呢？有——

即便用两个相交的圈，都无法将圆环面分割为两个区域。红点以及红色细线表示区域连通可以经过的道路。

历史

事实上欧拉并不是第一位发现多面体公式的数学家，早在17十七世纪，莱布尼兹就从笛卡尔的数学笔记中发现了该公式（没有证明），只是笛卡尔并没有公开此发现，奇怪的是莱布尼兹本人也选择低调，也许是出于数学家的严谨，也是出于对前辈笛卡尔的尊敬；于是这个重任交到了18世纪的欧拉。

欧拉多面体公式是拓扑学之肇始，其中蕴藏的信息成为后世数学家发掘的大宝藏。19世纪大数学家庞加莱提出同调群的概念，将欧拉特征推广到高维的情形，并且可以定义在一般的拓扑空间上。欧拉特征是“不变数量”，而同调群是“不变代数系统”，拓扑学发生了质的飞跃，从此开启代数拓扑的大门。

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