数学概念理解1-6年级（高观点下的初等数学）

数学概念理解1-6年级（高观点下的初等数学）这就是平面上三个重心坐标为(λi1 λi2 λi3)共线的充要条件.det(λij)3×3=0 ②若在平面中Pi(yi1 yi2 yi3) i=1 2 3共线 则熟知det(yij)3×3=0 ②把①代入② 并对行列式进行化简得

高观点下的初等数学（4）

原创 林根数学 林根数学 今天

先介绍一种几何学中的齐次坐标-重心坐标：

在直角坐标系中，△A1A2A3的顶点坐标为Ai(xi1 xi2 xi3) i=1 2 3

则对平面任意一点Pi(yi1 yi2 yi3) 规定三个三角形的面积比△PiA2A3:△PiA3A1:△PiA1A2=λi1:λi2:λi3 i=1 2 …n 为点Pi关于△A1A2A3的重心坐标 简记为(λi1 λi2 λi3) 显然 由定比分点公式 有

若在平面中Pi(yi1 yi2 yi3) i=1 2 3共线 则熟知

det(yij)3×3=0 ②

把①代入② 并对行列式进行化简得

det(λij)3×3=0 ②

这就是平面上三个重心坐标为(λi1 λi2 λi3)共线的充要条件.

给出一份罗马尼亚竞赛题:

(2018年罗马尼亚竞赛题)

来看一下其中用重心坐标解第一题:

设△ABC的三个内角由其顶点字母表示 垂心 重心 内心分别用H G I为记 则由重心坐标定义 可见

H(tanA tanB tanC) G(1 1 1) I(sinA sinB sinC)

由于H G I则由②得

由行列式的性质 可见③与以下各式是等价的:

从最后一个式子可以看出 必在A=B或B=C或C=A.

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练习题:

1.证明:三角形的重心 外心 垂心共线.

2.证明:三角形的内心 重心 Nagel点共线.

3. 如图所示 AE、AF是∠BAC的三等分线(余类推) 邻近ΔABC的各边的三等分线分别交于D、E、F 则有如下结论：诸Morley点的共线 即

若记AE、BD的延长线交于F’ 余类推，

D、ΔCDE的周长，则有

①AD、BE、CF交于一点M1（第一Morley点）;

②AD'、BE'、CF'交于一点M2（第二Morley点）;

③DD’、EE’、FF’交于一点M3(Morley中心);

并且第一Morley点 第二Morley点 Morley中心在同一条直线上.