三角函数直线对称证明（三角函数视角下）

三角函数直线对称证明（三角函数视角下）用数学语言表示：如图1，直线m，n被一组平行线l1，l2，l3所截，截得的线段AB，BC，AC与DE，EF，DF对应成比例。不过在学过锐角三角函数以后，再回过头重新审视这个基本事实，就会发现它其实是可以从三角函数的角度来证明的。平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的线段对应成比例。图1

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平行线为什么分线段成比例？

根据《课程标准》要求，平行线分线段成比例在各个版本的教材中都是作为一个基本事实提出的。基本事实类似于几何公理，是不需要证明的，俗称不证自明吧。

在《课程标准》颁布以前，平行线分线段成比例是作为定理出现在统编教材中的，称之为平行线分线段成比例定理。但因其证明方法和过程的难和繁，《课程标准》将其列为基本事实，不要求证明，只要求掌握这个基本事实即可。

不过在学过锐角三角函数以后，再回过头重新审视这个基本事实，就会发现它其实是可以从三角函数的角度来证明的。

平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的线段对应成比例。

图1

如图1，直线m，n被一组平行线l1，l2，l3所截，截得的线段AB，BC，AC与DE，EF，DF对应成比例。

用数学语言表示：

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先看比较特殊情况，若直线m，n中至少一条与这一组平行线垂直：

（1）若直线m，n都与这一组平行线垂直，由矩形的知识可证上式成立；

（2）若直线m，n中只有一条与这一组平行线垂直，比如：直线n与这组平行线垂直.

图2

如图2，过A，B两点分别作n的平行线，利用平行线的性质，得到一组同位角相等且均为θ，在所得的三个直角三角形中，求θ出正弦即可得证.

再看一般情况，若直线m，n都不与这一组平行线垂直（如图3），则可仿（2）添加辅助线，构造直角三角形，利用三角函数解决。

如图3

其实证明平行线等分线段有很多方法。比如用平行线等分线段法、面积法等，但这种方法在接受度上比其他方法似乎更容易一些，所以用三角函数来证明平行线分线段成比例是一个新的视角。

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