无穷级数求和函数的典型例题（数学家对分数函数无穷级数的研究）

无穷级数求和函数的典型例题（数学家对分数函数无穷级数的研究）我们继续扩展到分母是二次三项式的情况可以看出我们知道了任何一个系数都可以求出它后面的一个，例如求出了A，从它我们依次求出了B C D。结果与连续进行除法运算得到的无穷级数是一致的。两边乘以分母得到展开得到比较0次幂的系数得到a=ɑA，那么Z的其余各次幂的系数都是0得到

莱昂哈德.欧拉，雅各布.伯努利 棣莫弗对无穷级数问题做了深入研究，他们都是处理无穷级数的高手。我们来看看数学家是如何处理无穷级数和分数函数之间的关系的。

我们来看一个简单的分数函数

用一般的方法：连续进行除法运算可以把分数化解为关于Z的无穷级数，明显是一个几何级数

我们也可以用比较系数法，令

两边乘以分母得到

展开得到

比较0次幂的系数得到a=ɑA，那么Z的其余各次幂的系数都是0得到

可以看出我们知道了任何一个系数都可以求出它后面的一个，例如求出了A，从它我们依次求出了B C D。结果与连续进行除法运算得到的无穷级数是一致的。

我们继续扩展到分母是二次三项式的情况

这里用除法太繁琐，直接用比较系数法，令

两边乘以分母得到

比较系数法得到：a=ɑA，b=ɑB βA，依次求出系数A B的值，同理所有系数都可以从如下方程求出

我们看到，知道了相邻的两个系数，就可以求出它们下面的一个，例如相邻的两个系数P Q 它们下面的一个就是R，则得到

接下来的C D E F...都可以求出来。这样我们就得到了整个分数函数的无穷级数。

所以关于分数函数展开成无穷级数，我们已经找到了由一个或几个相邻系数决定下一个系数的规律，并可以展成无穷级数：

分母是ɑ βZ时，任何一个系数Q都是有前一个系数P决定，分母是ɑ βZ γZ^2时，任何一个系数R都是由它的前两个系数Q和P决定，分母是四项式ɑ βZ γZ^2 δZ^3时，任意一个系数S由它的前三个系数P Q R决定，且P Q R，S间的关系是为：ɑS βR γQ δP=0，对于更高类型的，情况类似。

所以对于任何一个分数函数，根据它的分母，我们可以立即写出一个公式，根据这个公式展成的级数项可由它的前几项决定。著名数学家棣莫弗对这类级数进行了详细的研究。并给它起了一个名字叫递推级数。