八岁高斯发现定理（从弹珠台到高斯分布）
八岁高斯发现定理（从弹珠台到高斯分布）翻译：Nuor作者：Pradeep Mutalik为什么科学能告诉我们关于星球内部的运行方式，却难以描述人类的行为？为什么牛顿无法精确预测天体轨道的变化，而只能将其诉诸全能的上帝？人类这样有秩序的系统，是如何从宇宙大爆炸之后几乎单调无序的状态中产生的？从地震、物种灭绝到交通堵塞、股市震荡，这些看似不相关的现象背后，到底有着怎样的某种关联？复杂其实很简单，即使看起来完全随机的行为深处，遵循的依旧是简单的因果规律。作者约翰·格里宾通过对各种复杂与混沌案例的分析告诉我们，整个世界都建立在简单元素之上，它们经由互动与组织，便可造就出高度复杂的整体，而在一切深奥结构与和谐之下的简洁，才是我们生存的基石。只要你认真阅读下面的这篇文章，思考文末提出的问题，严格按照 互动：你的答案 格式在评论区留言，就有机会获得奖品！
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为什么科学能告诉我们关于星球内部的运行方式，却难以描述人类的行为？为什么牛顿无法精确预测天体轨道的变化，而只能将其诉诸全能的上帝？人类这样有秩序的系统，是如何从宇宙大爆炸之后几乎单调无序的状态中产生的？从地震、物种灭绝到交通堵塞、股市震荡，这些看似不相关的现象背后，到底有着怎样的某种关联？
复杂其实很简单，即使看起来完全随机的行为深处，遵循的依旧是简单的因果规律。作者约翰·格里宾通过对各种复杂与混沌案例的分析告诉我们，整个世界都建立在简单元素之上，它们经由互动与组织，便可造就出高度复杂的整体，而在一切深奥结构与和谐之下的简洁，才是我们生存的基石。
只要你认真阅读下面的这篇文章，思考文末提出的问题，严格按照 互动：你的答案 格式在评论区留言，就有机会获得奖品！
作者：Pradeep Mutalik
翻译：Nuor
审校：xux
对弹珠台机器的改进表明：确定性定律可以产生随机搜寻行为。
之前有文章探讨过，一个平滑，随机的分布可以由一个经典，确定的高尔顿板（Galton board）或者弹珠台（bean machine）产生，通过一些智力游戏可以了解其内部工作原理。（详见：《随机性真的存在么？》）同时，高尔顿板的概率性结果也提出了一个可能：量子力学的概率性结果可能是来自于现阶段我们不了解的确定性定律。针对读者们的疑惑，我们先看一个谜题：
如下图所示，高尔顿板是一个带有多排钉子的直立板，经过这些钉子的弹珠可以沿着多条路径滚动。弹珠在板子的顶部掉落，碰到钉子时，会有相同的概率向左或者向右动。弹珠掉落到底部时，会看到明显的杨辉三角和高斯分布特征。
8 槽高尔顿板
谜题1 ：每个槽要求一样
假如你有一个跟上图一样的高尔顿板，这里第八排由收集箱替代，并有着等长的概率桩。我们希望对其进行修改，使得底部的每个收集箱有着等数量的弹珠。要达到这一要求，需利用新的钉来替代之前的钉，这些钉将弹珠以不相等的概率导向左侧或者右侧。我们可以指定完全导向左侧或者右侧，或者以任意比例导向两侧的钉子。
为了实现所有的收集箱有着相等的弹珠，所需替换的最少的钉子的数量以及左右的比率是多少？
此外，是否可以进行推导并证明，将上述结果推广到任意规模的高尔顿板的公式上面？
罗伯·科莱特正确回答了这个问题，塔那提交了正式证明。事实证明，只需要替换28个钉子里面的10个就行。钉子的替换也很简单：只需要将撞击钉子的弹珠推向左侧（L 钉）或者右侧（R 钉）。遵循莱昂内尔·林肯和罗伯·科莱特的约束，我们将等概论钉子称为标准（S）钉。
这是表明钉子如何排列和布置128颗弹珠的方案。
新的布置很有规律：将左侧钉和右侧钉分别放在左侧或者右侧。
对于箱数为2的幂次的规模，可以类比扩展。以下的公式由罗伯·科莱特递归得出。此处，p（n）是具有n个槽的非标准钉的数目：
对于 4 槽的板，需要更换的数目是：2p(2) 4 – 2 = 2 × 0 2 = 2。16 槽的需要2 × 10 16 – 2 = 34。
如果槽的数目不是2的幂次，问题会比较复杂。用罗伯·科莱特的话来说：“如果深挖其结构的话，这是一个异常复杂的问题。”利用代数方法，科莱特从2的幂次的结果中推广以下公式来得出最小替代数的上限（对于n不是2的幂次的情况）：
其中m是小于n的2的最大幂。
事实证明，可以有更好的结果，一位读者利用线性编程模拟了不同大小板子的结果。他给出了有5，6或者7槽的高尔顿板的最小替换数解决方案。5槽最小需要5个，6槽最小需要7个，7槽最小需要8个。
该数字小于预测的结果，因为事实证明，在上面的例子中，你可以保留最后一行的钉子。在以上所有的的情况下，如罗伯·科莱特代数所示，可能有几种最小的配置。该读者还为12槽的板提供了对称的解决方案，科莱特展示了其方案的独特性。
（建议阅读其进一步的研究结果。）
谜题2：双峰
与谜题1类似，从传统的高尔顿板开始，但是这次底部有9个收集槽。必须通过更改最小的钉来进行修改，以使得底部的弹珠分布为：0 x 2x x 0 x 2x x 0 其中x表示1/8弹珠总数。
罗伯·科莱特提出了以下优雅的解决方案：将8个替换钉对称地排列在中间。
谜题3：预测独立行为
在这个图片中，如果弹珠位于第三行的四个位置之一，并最终到达第八行的相应位置，如箭头所知，则认为弹珠的“漂移”为0。如果其掉落到其他槽中，则漂移值为距预计槽的距离的平方。因此，如果弹珠从第四行的最左侧位置开始，在标记为7的槽中落下，距离其预期槽的距离为1个槽，其漂移为1²=1，标记为1。如果落到最左侧，漂移为2²=4。特定高尔顿板的平均漂移是所有弹珠的平均漂移。
平均漂移是多少？
1.原始的高尔顿板。
2.谜题1中的改进的高尔顿板。
3.谜题2中改进的高尔顿板。
罗伯·科莱特再次给出了结果。分别是：1，1.5和2.5。科莱特提供了一个巧妙的技巧来简化这个问题：“窍门是：第4行落入第8行的球实际上与第1行落入到第5行的球相同。”
现在开始讨论哲学方面的问题，在此之前，谈一下其观点的来源方面。
首先，第一个观点是来自只对给定量子事件的因果链感兴趣的科学家（例如，光子在双缝实验中特定的撞击点）。其有概率公式，但这回答不了约翰·贝尔称为“beables”的问题——简而言之，就是“什么导致什么”的问题。某些先决条件一定会将光子推进到特定点，而没有其他因素（无论是光子的内部的某种事物，环境，两者的复杂相互作用，还是宇宙在实验进行的那十分之一秒内的特定状态）。在这个角度下看，约翰逊声明：“在B组角度（波尔组）来看，光子处于随机环境下”，而汉克·史密斯的声明“量子宇宙的本质是概率性的”似乎充满了魔力。否则它们在逻辑上则是不连贯的。毫无疑问，随机选择不是在没有前因的情况下，瞬时做出的。如果检查光子选择前一毫秒的微小部分，那么肯定会有某种状态导致其选择的发生。
所以（这是第二个观点），在任何可能的宇宙中，没有前因的纯随机选择在逻辑上是不可能的。量子随机性似乎是完美和固有的，仅仅是由于其数量级太小而使我们无法观察到。但是前因是存在的，像一对骰子的随机性和其他随机现象一样，随机性是由我们的忽视引起的。塞格瑞姆的观点是：“我们宇宙的行为是非局域的，因此每个事件都是确定性的。确定性是先前所有局部现象‘内部和外部’变换的结果。我们无法预测事件的结果不意味着结果尚未确定。”
一些读者提出质疑，为什么我将两个对立的观点命名为E组（爱因斯坦组）和B组（尼尔·玻尔组）。我指的是1927年索尔维会议上进行的辩论，该会议于1927年量子力学诞生后不久，召集了世界顶级物理学家。
两个对立观点的领袖是：爱因斯坦和玻尔，他们进行了激烈的辩论，他们互相对立的观点让彼此有了许多不眠之夜。最终，玻尔固有随机性观点成为了新兴的哥本哈根解释的一部分。而爱因斯坦的观点则概括在其著名的感叹中：“上帝不会掷骰子”。
波尔队伍的杰出物理学家都比较务实：维尔纳·海森堡，保罗·狄拉克，沃尔夫冈·保利和大多数其他人。 爱因斯坦的队伍中有德布罗意，后来有玻姆和贝尔。 欧文·薛定谔的著名方程式促成了B组的观点，后来又叛逃，并为E队进行了有力的辩论，特别是提出了经典的“薛定谔的猫”思维实验。
现在可以看一些哲学上的回应：
对于休·埃弗里特的平行宇宙（MWI）的设想，“当每一个节点做出微小的变动时，整个宇宙就会被克隆。”这个论点对以上的观点不会产生影响。休·埃弗里特的平行宇宙理论无法预测单个宇宙的行为，但是恰好单个宇宙的事件是我们所关心的事件。我的意见是：平行宇宙暗示宇宙克隆和粒子的选择。这是埃弗里特的一些追随者的意见（比如说大卫·德伊奇），他们似乎相信存在或实际上有着多个平行宇宙的存在。还有些其他追随者并不统一这一观点，显然，平行宇宙理论的“其他”世界，可以有两种不同解释：真实的或者虚假的。
但是，如果世界是虚假的，那么埃弗雷特的过程只是一种数学手段，从而可以让你想象薛定谔方程的量子演化过程是唯一存在的真实过程，因此可以避免物理学家因为讨厌的不确定的波函数而烦恼，但这只有在薛定谔方程为真实的运动方程时才成立，但它不是。正如高斯分布是高尔顿板的结果的概率表示一样，它只是一个概率表示，因此，如果排除上面提到神奇的内在不确定性的话，必须引入一个整体。
乔恩·里奇菲尔德指出，确定性和因果关系之间存在差异。确定性需要无限的测量精度，这是不可能的。正如混沌理论所表明的那样，即使在古典意义上，支持完全确定性世界的皮埃尔·西蒙·拉普拉斯也是错误的，但是尽管他在预测上是错误的，但在结果回溯上却没有错误。在给出最简单的经典结果的情况下，您可以有限的精度推断出初始条件和结果的路径。如果不能，则你的理论就是不完整的。但我确实同意，就目前的论点而言，我对严格确定性的兴趣没有对因果关系的兴趣大。
ZdeněkSkoupý评论说：“如果我们能切实解决小球运动的‘因果关系’，使之变得越来越详细，那么原则上我们无法达到无穷大——终点是量子水平。”但是，球是足够大的宏观物体，因此我们不需要去量子水平来确定它们的行为。我认为，可以用经典方式来决定真实世界高尔顿板上的弹球的随机运动物理机制，作为宏观物体，其运动有效地与量子世界隔绝了。
德文·韦斯利·哈珀的想法是，像高尔顿板这样的东西可以产生双缝结果，这是很有趣的事情。 但是，需要注意的是，双缝图案是由每个光子相互干扰引起的干涉图案。 而且，即使在真空中也会出现。 如果德文想法正确的话，必须得解释这两个问题。
至此，有关物理上面相关问题得以解答完毕。欢迎提出更多问题。
原文链接：https://www.quantamagazine.org/solution-randomness-from-determinism-20191122/
【互动问题：你见过有什么体现科学的小玩具么？】
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编辑：aki
