如何通俗的解释什么是群论(简单讲一下群论的主要思想)
如何通俗的解释什么是群论(简单讲一下群论的主要思想)所谓群,满足以下性质:而群论说白了,就是研究只有一种运算、我们称为乘法运算的代数系统的学科,这基本上是所有代数系统中比较简单的系统。在此学科中,我们研究群的分类、各分类的共性等各种性质。比如,我们整数上的加法乘法,我们的有向图计算入度出度,我们对于可微函数求微分,我们对于逻辑式求值,我们对于运算的运算……这一切,都是运算。而所谓代数系统就是上面n m个集合和上面的所有的运算整体的集合。抽象代数就是去研究满足相通性质的代数系统的共性,研究共性的前提就在于把运算抽象化。说白了,所谓的代数系统可以有无数种,甚至抽象代数本身就可以分成无限多个子学科。
群论是抽象代数的分支,抽象代数是研究代数系统的学科。
要理解什么是代数系统,先得明白什么叫运算。
运算是
n个集合下的笛卡尔积到m个集合下的笛卡尔积之间的映射。其中,n和m是正整数,并且这n m个集合可以任意重合,也可以互不一样。
比如,我们整数上的加法乘法,我们的有向图计算入度出度,我们对于可微函数求微分,我们对于逻辑式求值,我们对于运算的运算……这一切,都是运算。
而所谓代数系统就是上面n m个集合和上面的所有的运算整体的集合。抽象代数就是去研究满足相通性质的代数系统的共性,研究共性的前提就在于把运算抽象化。
说白了,所谓的代数系统可以有无数种,甚至抽象代数本身就可以分成无限多个子学科。
而群论说白了,就是研究只有一种运算、我们称为乘法运算的代数系统的学科,这基本上是所有代数系统中比较简单的系统。在此学科中,我们研究群的分类、各分类的共性等各种性质。
所谓群,满足以下性质:
1.集合上存在一个二元运算(二元运算是集合A上一个AxA->A的映射),我们称为乘法,可以记作⊗
2.乘法满足结合率,对于任何集合上a b c 满足a⊗b⊗c =a⊗(b⊗c)
3.集合中存在一个元素e 对于集合上任何元素a 有a⊗e=e⊗a
4.对于集合上任何元素a,存在集合上一个元素b,使得a⊗b=e b⊗a=e
实际上,上述条件还可以看似弱一点,
比如
对于集合上任何元素a,存在集合上一个元素b,使得a⊗b=e,存在一个元素c 使得c⊗a=e
a⊗b = e
=>
c⊗(a⊗b) = c⊗e
=>
c⊗a⊗b = c
=>
e⊗b = c
=>
b = c
而满足上述1、2两条的,叫半群。
注意,群里的乘法不用满足交换率,也就是
a⊗b = b⊗a不用对所有a b都成立。
比如实数下的n阶满秩矩阵群就是个例子,而满足交换律的群叫交换群,又称Abel群。
在数学中,满足群上述定义这样的代数模型是普遍存在的,从而抽象去研究它们的共性,利用同构、同态(实际上是某种代数系统的相似)等,就等于研究了一堆模型的性质,提供了强大的数学建模工具。