泰勒公式的三个基础公式（泰勒公式有两个余项形式）

泰勒公式的三个基础公式（泰勒公式有两个余项形式）证：f(a h)=f(a) f’(a)h … f^(n 1)(a)h^(n 1)/(n 1)! f^(n 2)(a)h^(n 2)/(n 2)! o(h^(n 2)). 【这是泰勒公式的定性形式，即带佩亚诺余项的形式。并且除了最后的高阶无穷小，它的项取到第n 3项，即指数为n 2的项。不要问老黄为什么要取到这一项，问就是因为只有取到这一项才能解决这道题】题目给出了泰勒公式的定量形式，所以我们可以再写出它的定性形式，即带佩亚诺余项的形式。你就会发现，它们之间存在着一个等量关系。把这个等量关系列出来，并对它进行化简，然后两边同时取h趋于0时的极限。就会发现解这道题的关键点了。下面是解题过程，每个式子都相当繁琐，关键点老黄会同时做出解释：f(a h)=f(a) f’(a)h … f^(n)(a)h^n/n! f^(n 1)(a θh)h^(n 1)/(n 1)! 0<θ<1.证明：

学过微分中值定理的泰勒公式的小伙伴们应该知道，泰勒公式有两种余项形式。这里指的不是麦克劳林公式和泰勒公式，而是泰勒公式的定性形式和定量形式。前者称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式，后者称为带有拉格朗日余项的泰勒公式。

它们的区别看起来是显而易见的。简言之，就是一个是定性的，一个是定量的嘛。然而它们之间的联系，恐怕能说得清楚的人就不多了。包括老黄也说不清楚，只能用“只能意会不能言传”一言而敝之。不过如果你能认真看完下面这道证明题，相信它对你理解泰勒公式的两个余项形式的联系是会有很大的帮助的。

设h>0，函数f在U(a h)内具有n 2阶连续导数，且f^(n 2)(a)≠0

f在U(a h)内的泰勒公式为：

f(a h)=f(a) f’(a)h … f^(n)(a)h^n/n! f^(n 1)(a θh)h^(n 1)/(n 1)! 0<θ<1.

证明：lim(h→0)θ=1/(n 2).

分析：首先必须读懂题目。这里有一个点很关键，因为U(a h)是一个大小可变的区间(邻域半径h是一个变量)，所以θ在这里并不是一个常数，而是一个随着邻域半径h的大小变化而变化的变量。所以θ其实是一个关于h的函数θ(h). 这样才会有θ的极限由h的趋势决定的事实。不理解这一点，恐怕也就理解不了这道题了。

题目给出了泰勒公式的定量形式，所以我们可以再写出它的定性形式，即带佩亚诺余项的形式。你就会发现，它们之间存在着一个等量关系。把这个等量关系列出来，并对它进行化简，然后两边同时取h趋于0时的极限。就会发现解这道题的关键点了。下面是解题过程，每个式子都相当繁琐，关键点老黄会同时做出解释：

证：f(a h)=f(a) f’(a)h … f^(n 1)(a)h^(n 1)/(n 1)! f^(n 2)(a)h^(n 2)/(n 2)! o(h^(n 2)). 【这是泰勒公式的定性形式，即带佩亚诺余项的形式。并且除了最后的高阶无穷小，它的项取到第n 3项，即指数为n 2的项。不要问老黄为什么要取到这一项，问就是因为只有取到这一项才能解决这道题】

f^(n 1)(a θh))h^n 1/(n 1)!=f^(n 1)(a)h^(n 1)/(n 1)! f^(n 2)(a)h^(n 2)/((n 2)!) o(hn 2) 【两个公式不同的部分相等，相同的部分都抵消掉了。也可以用两式相减，就得到这个式子了】

f^(n 1)(a θh)-f^(n 1)(a))/h=f^(n 2)(a)/(n 2) (n 1)!o(1) 【这是上面的等式两边同时乘以(n 1)!/h^(n 2)得到的。虽然n可以非常大，但不论n取到多大，对于变量h来说，它都是一个有限的值，所以(n 1)!o(1)仍是一个无穷小量，即当h趋于0时，极限等于0】

lim(θh→0)θ∙(f^(n 1)(a θh)-f^(n 1)(a)/θh=f^(n 2)(a)/(n 2) 【这是对上面的等式两边取h趋于0时(等价于θh也趋于0)的极限得到的。注意左侧极限的变化，除了因式θ，其余部分就是f^(n 2)(a)的定义公式哦，因此，两边同时除以f^(n 2)(a)，就得到】

lim(h→0)θ=1/(n 2). 得证！

现在你能体会到泰勒公式两种余项形式之间的关联了吗？