初二数学菱形经典题型（宝鸡初三菱形题型全解读1）

初二数学菱形经典题型（宝鸡初三菱形题型全解读1）菱形的两条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形（共有）；②菱形的一条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形（共有），2.角：对角相等、邻角互补（共有）；3.对角线：互相平分（共有）；互相垂直（独有）；平分对角（独有）。①注意：是“平分、垂直”而不是“相等”；

【知识梳理】

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；（既是性质也是判定）

2.性质：

1.边：对边平行且相等（共有）；四边均相等（独有）；

2.角：对角相等、邻角互补（共有）；

3.对角线：互相平分（共有）；互相垂直（独有）；平分对角（独有）。

①注意：是“平分、垂直”而不是“相等”；

②菱形的一条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形（共有），

菱形的两条对角线把平行四边形分成两个面积相等的三角形（共有）；

③面积公式：底×高（共有）；两条对角线乘积的一半（独有），如图：

4.对称性

菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的两条对称轴；

菱形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；

5.菱形常见辅助线

【典型例题】

例1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是( )

A.两组对边分别平行 B.两组对角分别相等

C.对角线互相平分 D. 对角线互相垂直

【解析】对角线垂直是菱形区别于平行四边形的独有性质，选D

例2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，则OE＝______．

【解析】数学典型模型：“双垂型”的面积用法；利用菱形“对角线垂直”的性质、勾股定理及三角形面积公式解答。∵菱形的对角线互相垂直平分，∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°．由勾股定理可得BC＝5．则OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE．∴OE＝12/5．

例3如图，菱形中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于____

【解析】利用菱形“四边相等”、“对角线平分”的性质及中位线定理解题.∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵E为AD边中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE=3.5．

例4.求证：菱形的两条对角线互相垂直．

已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O．求证：AC⊥BD．

以下是排乱的证明过程：

①又BO=DO；

②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；

③∵四边形ABCD是菱形；

④∴AB=AD．

证明步骤正确的顺序是（　）

A．③→②→①→④ B．③→④→①→②

C．①→②→④→③ D．①→④→③→②

【解析】利用菱形“四边相等”的性质及等腰三角形“三线合一”性质解题.∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∵对角线AC，BD交于点O，∴BO=DO，∴AO⊥BD，即AC⊥BD，∴证明步骤正确的顺序是③→④→①→②，选B.

例5.如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E，若PE=3，则点P到AD的距离为

【解析】利用菱形“对角线平分对角”及角平分线的性质解答

作PF⊥AD于点F，∵四边形ABCD是菱形，∴AC是∠DAB的角平分线，∴PF=PE=3，即点P到AD的距离为3.

例6.如图，菱形ABCD的对角线AC、BC相交于点O，E、F分别是AB、BC边上的中点，连接EF，若EF=√3，BD=4，则菱形ABCD的周长为___．

【解析】利用菱形“对角线垂直平分”、“四边相等”的性质及中位线定理解题。由题易得：EF是△ABC的中位线，则AC=2EF=2√3，由OA=√3，BO=2，由勾股定理可得AB=√7，所以菱形的周长为4√7。

例7.如图，菱形ABCD的面积为120，正方形AECF的面积为50，则菱形的边长为_______.

【解析】利用菱形“对称性”、“对角线垂直平分”的性质解题。连结AC、BD交于点O，由对称性知，菱形的对角线BD过点E、F，由菱形性质知，BD⊥AC，∴BD×AC÷2=120①，又正方形的面积为50，∴AE＝5√2， AO*2＋EO*2＝50，∴AO＝EO＝5所以，AC＝10，代入①式，得BD＝24，∴BO＝12，由勾股定理可得AB＝13

例8.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP FP的最小值为_______

【解析】“将军饮马问题”，利用菱形的对称性质可解题．

解：作F点关于BD的对称点F′，则PF=PF′，连接EF′交BD于点P．∴EP FP=EP F′P．由两点之间线段最短可知：当E、P、F′在一条直线上时，EP FP的值最小，此时EP FP=EP F′P=EF′．∵四边形ABCD为菱形，周长为12，∴AB=BC=CD=DA=3，AB∥CD，∵AF=2，AE=1，∴DF=AE=1，∴四边形AEF′D是平行四边形，∴EF′=AD=3．∴EP FP的最小值为3．

例9.已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；

（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

【解答】

（1）连接AC，利用菱形性质及等腰三角形“三线合一”解题；

解：结论AE=EF=AF．理由：如图1中，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC=∠DAC=60°∵BE=EC，∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，∵∠EAF=60°，∴∠CAF=∠DAF=30°，∴AF⊥CD，∴AE=AF（菱形的高相等），∴△AEF是等边三角形，∴AE=EF=AF．

（2）连接AC，利用菱形性质，通过三角形全等可证明；

证：如图2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，∴∠BAE=∠CAE，在△BAE和△CAF中，∵∠BAE=∠CAF，BA=AC，∠B=∠ACF，∴△BAE≌△CAF，∴BE=CF．

（3）由题易得：∠AEB=45°，利用“45°角常见添辅助线方法”构造直角三角形，利用角度的等量代换，易得△AEF是等边三角形，△CHF是含30角的直角三角形，利用特殊角与边的关系，即可得出F到BC的距离.

解：过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，∴∠AEB=45°，在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，∴BG=2，AG=2√3，在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，∴AG=GE=2√3，∴EB=EG﹣BG=2√3﹣2，∵△AEB≌△AFC，∴AE=AF，EB=CF=2√3﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，∵∠EAF=60°，AE=AF，∴△AEF是等边三角形，∴∠AEF=∠AFE=60°∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，在RT△EFH中，∠CEF=15°，∴∠EFH=75°，∵∠AFE=60°，∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2√3﹣2，由勾股定理可得FH=（2√3﹣2）（√3/2）=3﹣√3．∴点F到BC的距离为3﹣√3．