最简单的线面角求解方法（线面夹角的公式）

最简单的线面角求解方法（线面夹角的公式）再证参数公式：所以sinθ=|向量a*向量n|/(|向量a|*|向量n|). 向量公式得证！这里其实是有两个公式的，前面一个公式可以称为“线面夹角的向量公式”，后面一个公式可以称为“线面夹角的参数公式”。下面先证明向量公式。如图，已知点Q是直线l和平面α的交点， θ是l和α的夹角，直线PO⊥平面α交平面α于点O，交直线l于点P，则向量PO是平面α的法向量.记向量a=向量PQ，向量n=向量PO，则cos(90度-θ)=|向量a*向量n|/(|向量a|*|向量n|)，

老黄今天接到一个任务，要推导线面夹角的公式。本想上网搜一搜，看看别人是怎么推导的，收集一点灵感。如果别人推导得好，老黄就重新编绎一下，把它讲清楚，传播开来，也算是一种功德。但结果却大出老黄所料，网上竟没有完整的线面夹角公式，这怎么行？因此老黄决定靠自己的力量，把它推导出来，下回有人需要，就可以有个参考了。

先直接给结论：(由于老黄在向量方面的知识约等于0，如果有什么不准确的地方，欢迎指正！)

线面夹角公式：sinθ=|向量a*向量n|/(|向量a|*|向量n|)=|mA nB pC|/根号((m^2 n^2 p^2)(A^2 B^2 C^2))，

其中，向量a是直线l：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p的一个方向向量，向量n是平面α：Ax By Cz D=0的一个法向量，θ是直线l和平面α的夹角. 由线面夹角的定义有：0<=θ<=π/2.

这里其实是有两个公式的，前面一个公式可以称为“线面夹角的向量公式”，后面一个公式可以称为“线面夹角的参数公式”。下面先证明向量公式。

如图，已知点Q是直线l和平面α的交点， θ是l和α的夹角，直线PO⊥平面α交平面α于点O，交直线l于点P，则向量PO是平面α的法向量.

记向量a=向量PQ，向量n=向量PO，则cos(90度-θ)=|向量a*向量n|/(|向量a|*|向量n|)，

所以sinθ=|向量a*向量n|/(|向量a|*|向量n|). 向量公式得证！

再证参数公式：

已知平面α：Ax By Cz D=0，直线PQ：(x-x0)/m=(y-y0)/n=(z-z0)/p，求直线PQ和平面α的夹角θ.

解：记向量a=(m n p)，向量n=(A B C)，则

sinθ=|向量a*向量n|/(|向量a|*|向量n|)=|mA nB pC|/根号((m^2 n^2 p^2)(A^2 B^2 C^2)). 参数公式得证！

最后我们来做一个简单应用：

例：已知平面α：2x-y z 1=0，直线PQ：(x-3)/2=-(y-2)=z 7，求直线PQ和平面α的夹角θ.

解：A=2，B=-1 C=1 m=2 n=-1 p=1.

sinθ=|mA nB pC|/根号((m^2 n^2 p^2)(A^2 B^2 C^2))=|4 1 1|/根号((4 1 1)(4 1 1))=1.

所以θ=π/2.

随便举的例子，没想到这条直线和平面竟是互相垂直的。有兴趣您也可以自己举一些例子，求一求线面的夹角。