学计算的技巧方法（快速解题的基本功）

学计算的技巧方法（快速解题的基本功）当a、b同号时， 若 1/a ≤1/b ，则a≥b；若 1/a＞1/b，则a＜b。对任意两个数a、b，若能找到一个中间值c，满足a＞c且c＞b，则可以推出a＞b。若≥1，则a≥b；若 ＜1，则a＜b。当a、b为任意两个负数时，若 ≥1，则a≤b；若 ＜1，则a＞b。

算式计算能力是数量关系部分的基本能力，它不仅考查考生的计算水平，更多考查的是考生对计算方法的掌握和对计算技巧的运用能力，是准确、快速解决具体问题的方法和手段。算式计算，一般有以下九个方面：

1. 比较大小问题

比较大小问题在近年来各类公务员考试中出现较少。下面给出了比较几个数大小的常用方法及其原理，从真题来看，中间值法、倒数法、不等式法这三种方法考查较多，同学们可以重点学习。

（1）作差法

对于任意两个数a、b， 若a-b≥0，则a≥b；若a-b＜0，则a＜b。

（2）作商法

当a、b为任意两个正数时，

若≥1，则a≥b；若 ＜1，则a＜b。

当a、b为任意两个负数时，

若 ≥1，则a≤b；若 ＜1，则a＞b。

（3）中间值法

对任意两个数a、b，若能找到一个中间值c，满足a＞c且c＞b，则可以推出a＞b。

（4）倒数法

当a、b同号时， 若 1/a ≤1/b ，则a≥b；若 1/a＞1/b，则a＜b。

（5）不等式法（根据不等式的性质进行判断）

（6）差值比较法

通常情况下，比较几个分数的大小时，如果其值与“1”或某一个整数比较接近，则可通过比较这几个分数与“1”的差值来比较它们的大小。

2. 定义新运算问题

定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义，实质是给出一种新的运算规则，并赋予该运算方法新的运算符号，如*、△、※、◎等，计算其式子。在公务员考试中，定义新运算问题并不难。解决这类问题要充分理解新定义，严格按照新定义的公式带入数值，便可轻松搞定这类问题。

方法主要有以下三种：

定义新运算：新的运算符号，对这些符号规定了新的运算规则，按照新的运算规则进行运算。

（1）公式法

根据题目提供的新定义的公式，将数值带入。

（2）分步法

对于一些复杂的定义新运算问题，需要分步完成，根据已知公式多次代入和计算。

（3）归纳法

根据已知条件归纳新运算规则。

3. 平均值问题

平均值有分为算术平均值、加权平均值、几何平均值等等。其中以算术平均值最常见，在公务员考试中由于不允许使用计算器，所以几何平均值的问题出现的概率十分的低，掌握各种平均值解法就能很容易的解决问题。

（1）算术平均值

所有数据之和除以数据个数所得的商，用公式表示：

M=

（2）加权平均值

加权平均值即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数。平均数的大小不仅取决于总体中各单位的标志值（变量值）的大小，而且取决于各标志值出现的次数（频数），由于各标志值出现的次数对其在平均数中的影响起着权衡轻重的作用，因此叫做权数。

举例说明：下面是一个同学的某一科的考试成绩：

平时测验 80， 期中 90， 期末 95

学校规定的科目成绩的计算方式是：

平时测验占 20%

期中成绩占 30%

期末成绩占 50%

这里，每个成绩所占的比重叫做权重。那么，

加权平均值 =( 8020% 9030% 95*50% )/(20% 30% 50%）=90.5

算术平均值(80 90 95)/3 = 88.3

上面的例子是已知权重的情况。下面的例子是未知权重的情况：

股票A，1000股，价格10；

股票B，2000股，价格15；

算术平均值 = (10 15) / 2 = 12.5；

加权平均值 = (10 * 1000 15 * 2000) / (1000 2000) = 13.33

其实，在每一个数的权数相同的情况下，加权平均值就等于算术平均值。

权重是一个相对的概念，是针对某一指标而言。某一指标的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度。 权重表示在评价过程中，是被评价对象的不同侧面的重要程度的定量分配，对各评价因子在总体评价中的作用进行区别对待。事实上，没有重点的评价就不算是客观的评价。 打个比方说 一件事情 你给它打60分 你的老板给它打100分 如果平均 则是(100 60)/2=80分. 但因为老板说的话分量比你重 假如老板的权重是2 你是1 这时求平均值就是加权平均了 结果是(1002 601)/(1 2)=86.67分 显然向你的老板那里倾斜了。假如老板权重是3，你的权重是1，结果是（1003 601）/（1 3）=90分。这就是根据权重的不同进行的平均数的计算，所以又叫加权平均数。

4. 不定方程问题

未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。

在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为ax by=c，其中a、b、c为已知整数，x、y为所求自然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等多种数学知识来得到答案。

公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就能轻松搞定不定方程问题：

形如x y=4，x y z=3， 的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的解是不确定的，我们通常研究：

a.不定方程是否有解？

b.不定方程有多少个解？

c.求不定方程的整数解或正整数解。

（1）二元一次不定方程

对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：

定理1：

如：方程2x 4y=5没有整数解；2x 3y=5有整数解。

定理2：

（2）多元一次不定方程（组）

多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。

例：

所以x=10－y－z=4－k，当k=0时，x最大，此时y=1，z=5。

（3）其他不定方程

解不定方程问题常用的解法：

（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；

（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；

（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；

（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；

（5）无穷递推法。

（6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。

5. 不等式问题

不等式是用不等号将两个解析式连结起来所成的式子，在公务员考试中，对不等式的考查主要有两个方面：(1)由不等式确定未知量取值范围，(2)均值不等式。

核心概念

均值不等式：任意n个正数的算术平均数总是不小于其几何平均数。

6. 算式等式问题

公务员考试中的算式等式问题，主要是指由已知等式（关系式）求取相关的特定关系式的值。这类型的题目的关键在于认真观察题干中的关系式，然后按照核心公式拆解，从而得到解题需要的关系式。

7. 最值问题

最值问题一般为题目中出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字样，通常采用不等式法、求导法等求最大值，最小值。在近几年的公务员考试中，最值问题主要考查的是最大值和最小值，通常只有不等式法、求导法、二次函数法三种方法，其中以不等式法为主。

（1）不等式法

正数的算术平均值不小于它们的几何平均数，即：

（2）求导法

（3）二次函数法（了解）

二次函数：

8. 数列问题

（1） 求第N项

（2）数列求和

A．单一数列求和

B．多个数列求和：

①分组求和法（重要）：

将原数列拆分成若干个基本数列，利用基本数列求和公式进行求和。

②错位相减法：

③倒叙相加法：

公式推理：

9. 速算与技巧

速算与技巧，它不仅考查考生的计算水平，更多考查的是考生对计算方法的掌握和对计算技巧的运用能力，是数量关系部分的基础，是准确、快速解决具体问题的方法和手段。

在公务员考试中，计算能力是数量关系部分的基本能力，几乎所有题目最后都会转化成对计算规律的考查。这一节，将向大家详细介绍计算的规律及技巧，一般来说，速算的方法只有五种：

（1）凑整法

凑整法：是根据数的特点，借助于数的组合、分解以及四则运算等规律，将几个数字凑成整十、整百、整千、整万的数，也可以把较大的数字估算为与其相近的整数，从而达到简化计算的目的，是最常用、最简便的方法。

常用公式：

加法交换律：a b=b a；

加法结合律：(a b) c=a (b c);

乘法交换律：ab=ba;

乘法结合律：（ab)c=a(bc);

乘法分配律：(a b)c=ac bc。

（2）因式分解法

因式分解法是把一个多项式转化为几个因式乘积的形式。常用的方法有提取公因式法、公式法、分组分解法等。

A．提取公因式法：

通过提取相同的因数或因式进行“凑整”的方法，如am bm cm=m(a b c)，这是因式分解中最基本的方法。该方法一般以求取公约数或公因式作为基础。

B．公式法：

是利用乘法公式来分解因式的方法。公式法在后面的消去法、换元法、算式等式等部分中应用也非常广泛。常用的乘法公式有：

C．分组分解法：

将多项式中的某两项或多项作为一组，使该组内的几项适合于利用提取公因式法或公式法等进行因式分解，或者是将该多项式转化为已知条件的某种形式。

D．拆补法：

在保证多项式数值不变的基础上，将式子中的某一项等值拆分成几项、或者同时加减上相等的两项或几项，使之适合于利用提取公因式法、公式法或分组分

（3）消去法

“消去法”思想来源于解方程组时的消元思想，它是通过消去一个复杂式子中的重复部分来达到简化计算的目的。 对于加减运算中项数较多的式子，优先考虑使用该方法。一般在乘除运算较多和分式较多的式子中要先利用“约分”来消去相同的项。

（4）换元法

换元法是把式子的某个部分看成一个整体，并用一个新的变量去替换它，从而使式子简化的方法。

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识体系中去研究。

在数学运算中，一般采用的是局部换元法，是指在已知或未知的代数式中，用一个字母代替重复出现的复杂式子，进而把复杂的计算和推证简化。

（5）首尾数法

首尾数法：是根据原式的运算将首位或者末位数字（一位或者两位）运算后得到的结果来确定答案的。 通常在所给题干的数值比较大、计算复杂，而四个选项的首位数字或末位数字不相同的情况下使用，可以达到“秒杀”的效果。大部分的计算题都可以用首数法或者尾数法，其中尾数法在数学运算和数字推理中应用的尤其普遍。

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