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二重积分通俗讲(学不到的二重积分)

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)整个Y轴上的厚度不断累加,就得到用黎曼和表示的体积所以得到:总面积乘以微小的厚度dy整体的面积就是:所有微小面积的叠加之和所有的和写成一元积分的形式:换到Y轴上,这一小块的体积就是ZX面上的面积乘以Y轴上的厚度

一元微积分,二重积分,三重积分贯穿着整个数学分析,教材上严谨的数学推导既整洁又枯燥

本篇带你走进不一样的微积分时空,让你感受到不一样美。

如图是一个三维空间的立体模型

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(1)

把他翻转到ZX面,每一个微小的面积就是Zxdx

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(2)

整体的面积就是:所有微小面积的叠加之和

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(3)

所有的和写成一元积分的形式:

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(4)

换到Y轴上,这一小块的体积就是ZX面上的面积乘以Y轴上的厚度

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(5)

所以得到:总面积乘以微小的厚度dy

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(6)

整个Y轴上的厚度不断累加,就得到用黎曼和表示的体积

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(7)

所以得到用积分表示和的累加的结果:二重积分公式

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(8)

我们换到ZY面上,同理得到ZY面上的面积

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(9)

空间上dx就是微小的高度,整体的体积就是

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(10)

所以就得到两个方向上等价的体积公式:二重积分

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(11)

如果将立体结构转换到极坐标空间中:

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(12)

因为是旋转的,我们取微小的旋转角度dθ,根据弧度制,dθ对应的弧长就是Rdθ

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(13)

这个Rdθ在立体上就表示宽度

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(14)

旋转的微小半径就是dR

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(15)

高度是Z,所以微小块的体积就是ZxdRxRdθ

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(16)

所有R方向上的总体积就是

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(17)

写成一元积分形式

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(18)

整个圆周上体积之和就是

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(19)

写成积分的形式:得到极坐标下的二重积分

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(20)

另一个思路:一圈的体积就是

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(21)

R方向上体积总和就是

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(22)

写成积分的形式

二重积分通俗讲(学不到的二重积分)(23)

上述就是二重积分在空间中最直观的描述。

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