三年级奥数比较数的大小（媛媛妈的奥数课三年级第29讲）
三年级奥数比较数的大小（媛媛妈的奥数课三年级第29讲）下面讲一下二进制数的加减乘除四则运算：人类天生双手十指。“搬着手指头”计数，是每个人幼时必经之路。十进制数有两大内涵：一是有十个不同数符：0，1，2…9；二是“逢十进一”的进位法则，有个、十、百、千等自右向左的数位。倘若人类双手八指，也许地球上今日该流行八进制了。所以二进制也有两大内涵：一是有两个不同数符：0，1；二是“逢二进一”。其实，我们已见过非十进制的事物，一年十二个月，十二进制；一周七天，七进制；一小时六十分，一分六十秒，六十进制；一英尺等于十二英寸（电视机常说20英寸，21英寸），十二进制；一副三角尺含2块，一双鞋含2只，一双袜子含2只，一双筷子含2根，这些都可看成二进制。顺便说一句，现在使用电子计算机，直接输入十进制数即可，因为机器内部已专门编有（十）化（二）程序，可以自动转换。
在进入21世纪的今天，电子（数字）计算机内部数的存贮和计算采用二进制已是众所周知的事了。据学者考证，中国在公元前2000多年的伏羲氏发明的八卦，即用—和--两种符号拼出来的。
但是人类历史进程表明，二进制大约被人类冷落了近四千年（在此期间一直重视和使用十进制），直到20世纪40年代，科学技术的整体水平（有了无线电通讯、雷达技术和真空管、继电器等电子元器件）进一步提高，再加上反法西斯战争需要发明原子弹（原子弹许多设计数据不能事先在实验室测出，而必须靠理论计算，而计算量超过人类有史以来全部算术运算），著名数学家冯·诺伊曼（J.von Neumann）和另一些年轻数学家发明制成了称之为ENIAC的通用电子数字计算机（用18000支真空管，1500个继电器，几十万电阻电容，自重30吨，耗电200千瓦）。
直至今日，电子计算机主要还是冯·诺伊曼体系。告诉大家这一些历史，主要说明我们不能停留在为祖先最早发明了二进制而自豪这一步，还要看到数学大有用武之地，但要与经济建设和科学技术广泛结合才能起大的或巨大的（如电子计算机）作用。
下面看二进制本质到底是什么？
人类天生双手十指。“搬着手指头”计数，是每个人幼时必经之路。十进制数有两大内涵：一是有十个不同数符：0，1，2…9；二是“逢十进一”的进位法则，有个、十、百、千等自右向左的数位。
倘若人类双手八指，也许地球上今日该流行八进制了。所以二进制也有两大内涵：一是有两个不同数符：0，1；二是“逢二进一”。其实，我们已见过非十进制的事物，一年十二个月，十二进制；一周七天，七进制；一小时六十分，一分六十秒，六十进制；一英尺等于十二英寸（电视机常说20英寸，21英寸），十二进制；一副三角尺含2块，一双鞋含2只，一双袜子含2只，一双筷子含2根，这些都可看成二进制。
顺便说一句，现在使用电子计算机，直接输入十进制数即可，因为机器内部已专门编有（十）化（二）程序，可以自动转换。
下面讲一下二进制数的加减乘除四则运算：
二进制数有被电子计算机采用的好处，但人们有时还觉得它表达一个数时，数位太长，为读写和观察方便，要缩短数位又便于机器使用，科学家们偏爱于八进制和十六进制。大家可以自己扩充八进制的数的概念和运算：
现在再讲十六进制。
注意：十六进制的乘法和除法很费神，要构造“十六——十六表”.
当然这十六进制的乘除法是很不习惯的。下面谈一下二进制和八进制、十六进制之间的较密切的相互关系。
最后介绍几个问题。
研究表明，要保存数码最经济的进位制是三进制，可惜现在物理器件较成熟的还是支持两种状态的二进制。
杰出的科普作家阿西莫夫（IsaacAsimov）曾喜悦地谈到自己年轻时独立解决了一个看似与二进制无关的有趣问题。问题是这样的：如何制造个数最少的一些单位砝码，如1克、2克、3克、4克等，能称出1克到1千克的任何整克数的物体？
答案是：1克、2克、4克、8克、16克、32克、64克、128克、256克、512克，共十个砝码。实际上这些砝码一直可称出1到1023克之间任何整克数的物体。这在我们学完二进制数以后就不难理解了。
如：x=a9a8a7a6a5a4a3a2a1a0，每个ai或0或1表示2克砝码或不用或用上。如把问题再简化一些，如只许用3个砝码，就制成1克、2克、4克，可称1、2、…7克的任何整克数物体，或说要称1、2、…7克之间任一物体，3个砝码是最少的了。因为1克必然要的。2克，如不要，再造一个1克砝码，这样用二个1克砝码，仅能称1克、2克共2种物体，效率不高。所以造一个1克，一个2克，这样可以称1、2、3克三种物体了。下一个不必造3克的砝码，而造了一个4克的砝码，所以1克、2克、4克是最省个数的体系了。十个砝码最省的推理也相似。
在结束本讲之时，希望同学们注重于理解各种进制的思想，不必去死记硬背八进制乘法表、十六进制乘法表。并请思考类似于十进制的分数、小数、循环小数等内容在二进制或八进制等体系下，如何进行？
下面是给同学们的小练习，一起做做看吧！
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本讲答案
