抛物线及其标准方程预习（抛物线讲义四）
抛物线及其标准方程预习（抛物线讲义四）思路分析一：24 求满足AC’⊥BC’的点C’的轨迹，AB是否经过定点？27 求证C'F^2=FB*FA，28 求证∠FC’A=BC'M，29以C'O'为直径的圆是否恒过定点？
设抛物线焦点为F，M为AB中点 O'为△C'AB外心。有以下问题：
24 求满足AC’⊥BC’的点C’的轨迹，AB是否经过定点？
25求证∠FC’A=FBC'，∠FC’B=FAC'，∠C’FB=AFC'，
26 求证△C'FA∼△BFC'
27 求证C'F^2=FB*FA，
28 求证∠FC’A=BC'M，
29以C'O'为直径的圆是否恒过定点？
24 求满足AC’⊥BC’的点C’的轨迹，AB是否经过定点？
思路分析一：
设出切点，得到交点坐标，由切线垂直得到条件即可得到C’在准线上，下面利用准线性质或者上面性质即知切点弦过F。
证明一：
思路分析二：
利用上节焦点弦的性质易知C’在准线上，下面由一一对应证明C’的唯一性即可。
证明二：
设过A的切线交准线于C 弦AB’过F，由上节性质23知C’B’为切线，故B B’重合。C C’重合。由上节性质17知∠AC’B=90°，故C’在准线上。又由性质5知切线与切点纵坐标一一对应，故A的切线上只有点C’满足∠AC’B=90°，从而C’的轨迹为准线。
注：
本性质承上启下，既是焦点弦的性质，又和抛物线的两条切线有关。本性质即过抛物线焦点的弦在两交点处的两条切线互相垂直，而且交点在准线上，反之亦然。
此性质也是圆锥曲线共有的性质，对于椭圆轨迹为圆，一般称为蒙日圆或者准圆。可以参照本系列的第五篇(《直线与椭圆位置关系常见问题1—圆锥曲线系列讲义之五》)的问题5。双曲线性质类似，轨迹也是圆。抛物线中此圆退化为准线。相应的抛物线性质的计算量也就小了很多。
25求证∠FC’A=∠FBC'，∠FC’B=∠FAC'，∠C’FB=∠AFC'，
思路分析一：
求出C’坐标，直接计算夹角即可。
证明一：
从而得到∠FC’A=∠FBC'，
对称的，可以得到
∠FC’B=∠FAC'，
由三角形内角和知∠C’FB=∠AFC'。
思路分析二：
想到性质9，再结合四点共圆即可倒角证明本题。
证明二：
由上上节性质9知FT⊥TB，
对称的有FT’⊥T’A，
故TC’T’F共圆，
则∠FC’A=∠FTO.
又由性质10知TF平分∠OFCB，
故∠FBT=∠FTO.
故∠FC’A=∠FBC'，
对称的，可以得到
∠FC’B=∠FAC'，
由三角形内角和知∠C’FB=∠AFC'。
这样即得△C'FA∼△BFC'，
由对应线段成比例即得C'F^2=FB*FA。
当然命题27也能计算得到，计算过程如下：
28 求证∠FC’A=BC'M，
证明：由25的证明知
由性质6知C’M//OF
故∠FC’A=BC'M.
注：
本性质虽然很简单，但是也很优美。在平面几何中，直线C’F称为△C’AB的陪位中线，他也具有丰富的几何性质。
29 以C'O'为直径的圆是否恒过定点，
思路分析：
由对称性，容易猜测以C'O'为直径的圆所过的定点为焦点F。下面只需利用定义求出O’坐标，通过斜率乘积为-1来计算证明FO’⊥FC'即可。
证明：
