x+y=1在第一象限围成的面积：计算y1 1 x

x+y=1在第一象限围成的面积：计算y1 1 x=1/2*e^2-lne-1/2=1/2*x^2-lnx[1 e]此时面积定积分表示为：S=∫[x1 x2](y2-y1)dx=∫[1 e](x-1/x)dx

主要内容：

本文通过定积分知识，分别以微元dx、dy计算曲线y1=1/x与直线y2=x、x=e围成的面积的主要步骤过程。

方法一：微元dx计算区域面积

此时画出曲线y1=1/x与直线y2=x、x=e围成的区域示意图，先求曲线y1与直线y2的交点，即：

1/x=x⇒x^2=1 取正数x1=1。

此时面积定积分表示为：

S=∫[x1 x2](y2-y1)dx

=∫[1 e](x-1/x)dx

=1/2*x^2-lnx[1 e]

=1/2*e^2-lne-1/2

=1/2*e^2-1-1/2

=1/2*e^2-3/2。

方法二：微元dy计算区域面积

此时画出曲线y1=1/x与直线y2=x、x=e^1围成的区域示意图，对以dy为微元计算面积时，总面积由三角形面积ABD和曲边形ABC的面积和 即S=Sabc Sabc。

同理联立曲线y1与直线y2，1/x=x，

即x^2=1 取正数x1=1。则：

AB=x2-x1=e-1 并对应求得纵坐标得：

y1=1/1=1 y2=2，则：

BD=y2-y1=e-1，此时三角形ABC的面积为：

Sabc=(1/2)AB*BD

=(1/2)(e-1)*(e-1)

=(1/2)(1-2e e^2).

当x=e时，y3=1/e 则：

Sabc=∫[y3 y1](e-1/y)dy

=(ey-lny)[1/e 1]

=e-2

此时S有：

S=Sabc Sabc

=(1/2)(1-2e e^2) e-2

=1/2*e^2-e e-3/2

=1/2*e^2-3/2。