数学一元二次不等式基本题型（8下数学培优全面掌握）

数学一元二次不等式基本题型（8下数学培优全面掌握）【解答】（1）由题意得：白棋为：1/2 n（n 1），黑棋为3n 6；（3）白棋的个数能否与黑棋的个数相等？若能，求出是第几个图形，若不能，说明理由．[变式1]（2018秋•潮南区期中）用黑白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知．（1）在第n个图中，白棋共有 ____枚，黑棋共有 枚；（2）在第几个图形中，白棋共有300枚；

规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是给出一组具有某种特定关系的数、式或图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情景，要求通过观察、分析、推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．规律探索型问题包括两类问题：数字类规律探索型问题和图形类规律探索型问题．与一元二次方程有关的规律性问题，一般是先通过探索出来的规律列方程求解，根据解的情况分析结论的情形．

类型1　三角点阵中前n行的点数计算

[教材母题] 如图1是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第n行有n个点…

容易发现，10是三角点阵中前4行的点数和．你能发现300是前多少行的点数的和吗？三角点阵中前n行的点数和能是600吗？如果能，求出n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．

[变式1]（2018秋•潮南区期中）用黑白棋子摆出下列一组图形，根据规律可知．

（1）在第n个图中，白棋共有 ____枚，黑棋共有 枚；

（2）在第几个图形中，白棋共有300枚；

（3）白棋的个数能否与黑棋的个数相等？若能，求出是第几个图形，若不能，说明理由．

【解答】（1）由题意得：白棋为：1/2 n（n 1），黑棋为3n 6；

故答案为：1/2 n（n 1），3n 6；

（2）1/2 n（n 1）＝600，解得：n＝24（已舍去负值）

故：第24个图形中，白棋共有300枚；

（3）1/2 n（n 1）＝600，

解得：n＝5/2±√73/2为无理数，所以，白棋的个数不能与黑棋的个数相等．

[变式2]观察下表，填表后再解答问题：

（1）试完成下列表格：

（2）第n个图形中"●"有____ 个，"★"有_____ 个（用含n的代数式表示）

（3）是否存在"★"的个数与"●"的个数相等的情形？请通过计算加以说明．

【解答】（1）由图中可以看出"●"的个数为4×4＝16；"★"的个数为32＝9；

（2）∵图形中"●"的个数依次为8的1倍，2倍，3倍…；"★"的个数依次为12，22，32…

∴第n个图形中"●"有8n个，"★"有n2个；

（3）8n＝n ²，解得n＝0或n＝8，

∵n为正整数，∴n＝8．

[变式3]如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题．

（1）在第n个图中，第一横行共 ____块瓷砖，第一竖列共有_____ 块瓷砖；（均用含n的代数式表示）

（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数；

（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；

（4）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，问题（3）中，共花多少元购买瓷砖；

（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形请通过计算说明理由．

【解答】（1）每﹣横行有（n 3）块，每﹣竖列有（n 2）块．

（2）y＝（n 3）（n 2），

（3）由题意，得（n 3）（n 2）＝506，解之n1＝20，n2＝﹣25（舍去）．

（4）观察图形可知，每﹣横行有白砖（n 1）块，每﹣竖列有白砖n块，因而白砖总数是n（n 1）块，n＝20时，白砖为20×21＝420（块），黑砖数为506﹣420＝86（块）．

故总钱数为420×3 86×4＝1260 344＝1604（元）．

（5）当黑白砖块数相等时，有方程n（n 1）＝（n ² 5n 6）﹣n（n 1）．

整理得n ²﹣3n﹣6＝0．解之得n1＝3/2 √33/2，n2=3/2-√33/2．

由于n1的值不是整数，n2的值是负数，故不存在黑砖白块数相等的情形．

类型2　等差数列求和公式的应用

[教材母题]一个小球以5m/s速度开始向前滚动，并且均匀减速，4s后小球停止滚动．

（1）小球的滚动速度平均每秒减少多少？

（2）小球滚动5m约用了多少秒（结果保留小数点后一位）？

（提示：匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度V（初速度与末速度的算术平均数）与路程s，时间t的关系为s＝Vt）

【分析】（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间；

（2）利用等量关系：速度×时间＝路程，时间为xs，根据题意列出方程：x•[5 (5-1.25x)]/2＝5求解即可．

【解答】（1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，即5÷4＝1.25（m/s），

故小球的滚动速度平均每秒减少1.25小m/s；

（2）球滚动到5m时约用了xs，

依题意，得：x•[5 (5-1.25x)]/2＝5，

整理得：x ²﹣8x 8＝0，解得：x＝4±2√2，

∵x＜4，∴x＝4﹣2√2≈1.2．

故小球滚动5m用了1.2秒．

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，重点在于求出平均每秒小球的运动减少的速度，而平均每秒小球的运动减少的速度＝（初始速度﹣末速度）÷时间．

[变式1] 小明从一个箱子里取乒乓球，第一次取了6个，第二次取了10个，第三次取了14个，就这样每次都比前一次多取4个，则取多少次后小明共取了336个乒乓球？

解：设共取了x次，则第x次取了[6＋4(x－1)]个．根据题意，得1/2x[6＋6＋4(x－1)]＝336，解得x1＝12，x2＝－14(不合题意，舍去)．

答：取12次后小明共取了336个乒乓球．

[变式2] 小松鼠摘松果贮备粮食，第一天摘了9个，第二天摘了12个，第三天摘了15个，按这样的摘法，小松鼠多少天能摘够750个松果？

解：设小松鼠n天能摘够750个松果．根据题意，得1/2n[9＋9＋3(n－1)]＝750，解得n1＝20，n2＝－25(不合题意，舍去)．

答：小松鼠20天能摘够750个松果．

类型3　直线分平面最多部分问题

[教材母题]例　画1条直线，可将平面分成2个部分．画2条直线，最多可以将平面分成4个部分．那么画100条直线，最多可以将平面分成多少个部分？如果画n条直线，最多可以将平面分成多少个部分？

解：如果画100条直线，最多可以将平面分成5051个部分；如果画n条直线，最多可以将平面分成[n(n 1)/2＋1]个部分．

[变式] 阅读下面文字，完成题目中的问题：

阅读材料：①平面上没有直线时，整个平面是1部分；②当平面上有1条直线时，就把平面分成2部分；③当平面上有2条直线时，最多把平面分成4部分；④当平面上有3条直线时，最多把平面分成7部分；…

完成下面问题：

(1) 根据上述事实填写下列表格：

(2)观察上表中平面最多被分成的部分，它们的差是否有规律？如果有，请你描述出来；

(3)平面最多被分成的部分也有规律，请你根据(2)中的结论说出"平面最多被分成几部分"的规律；

(4)一块蛋糕要分给10位小朋友，你至少要切几刀？

解：(1)表中依次填1，2，4，7.　(2)有规律，它们的差依次为1，2，3.

(3)当有n条直线时，平面最多被分成(1＋1＋2＋3＋…＋n)部分，即[1/2n(n＋1)＋1]部分．

(4)根据题意，得1/2n(n＋1)＋1＝10，解得n1＝-1/2 √73/2，n2＝-1/2-√73/2 (不合题意，舍去)．∵3＜-1/2 √73/2＜4，∴至少需要切4刀．