学习线性模型（模型思维之非线性模型）

学习线性模型（模型思维之非线性模型）其中a是介于0到1之间的实数，表示劳动力的相对重要性。简单增长模型：假设投资等于储蓄率乘以产出，并假设机器按某个不变的折旧率折旧。二、凹函数凹函数与凸函数相反。凹函数的斜率是递减的。具有正斜率的凹函数会呈现收益递减的特点：当我们拥有的东西越来越多的时候，每个额外东西所能带来的价值会越来越少。几乎所有商品的效用或价值都呈递减趋势。闲暇越多、金钱越多、冰激凌越多，甚至与爱人共度的时光越多，对我们的价值就越小。当我们假设了凹性时，也就隐含地假设了对多样性和风险规避的偏好向。要证明前者，只需要给出一个有多个参数的凹函数就可以。如果人们的幸福曲线是凹性的，而且闲暇和金钱都在增加，那么人们就会更偏好休闲和金钱的组合，而不怎么喜欢只有金钱、没有闲暇或只有闲暇、没有金钱。而风险规避则意味着更偏好确定的有把握的事情而不怎么喜欢，也就是不确定的事情。1、经济增长模型标准的经济生产模型：其中产出取决于劳动和实物

非线性函数可以向下或向上弯曲，可以形成S形，还可以扭结、跳跃和波动。

一、凸函数凸函数的斜率是递增的：函数值随度量值的增加而增加。例如，在一个人群中，可能结成的“对”的数量是这个群体人数的凸函数。一组3人，可以结成3个不同的“对”；一组4人，可以结成6个不同的“对”；一组5人，则可以结成10个不同的“对”。群体规模每增大一些，都会导致“对”的数量有更大的增加。1、指数增长模型时间t的资源值Vt，其初始值为V0，且以速率R增长，可以写成如下方程：

这个单方程模型在金融、经济、人口、生态以及技术等领域中都发挥着核心作用。当我们把它应用于金融问题时，这里的变量就是货币。

2、72法则如果一个变量在每个周期内以R（增长率小于15%）的百分比增长，那么下面提供了一个很好的近似：

这个公式揭示了为什么房地产泡沫必定会结束而技术进步则不会。因为价格不可能一直这么涨下去，泡沫必定会破灭。而摩尔定律（Moore'slaw）则指出，可以安装在一块集成电路上的晶体管数量每两年会增加一倍。摩尔定律之所以持续存在，是因为用于研发的投入带来了近乎恒定不变的进步速度。

3、半衰期模型如果每H周期，剩余数量的一半会衰减，那么在t周期后，剩余的比例为：

半衰期模型的一个新应用是在心理学中。早期的心理学研究表明，人们几乎以接近固定不变的速度忘记信息。人们记忆的半衰期取决于事件的显著性。2016年，电影《聚焦》（Spotlight）获得了奥斯卡最佳影片奖。假设，人们对奥斯卡获奖记忆的半衰期为两年，那么到了2018年，有1/4的人会记住这一事实；但是到了2026年，将只有1/1024的人还会记得这件事情。但对任何特定事件的回忆因人而异。

二、凹函数凹函数与凸函数相反。凹函数的斜率是递减的。具有正斜率的凹函数会呈现收益递减的特点：当我们拥有的东西越来越多的时候，每个额外东西所能带来的价值会越来越少。几乎所有商品的效用或价值都呈递减趋势。闲暇越多、金钱越多、冰激凌越多，甚至与爱人共度的时光越多，对我们的价值就越小。当我们假设了凹性时，也就隐含地假设了对多样性和风险规避的偏好向。要证明前者，只需要给出一个有多个参数的凹函数就可以。如果人们的幸福曲线是凹性的，而且闲暇和金钱都在增加，那么人们就会更偏好休闲和金钱的组合，而不怎么喜欢只有金钱、没有闲暇或只有闲暇、没有金钱。而风险规避则意味着更偏好确定的有把握的事情而不怎么喜欢，也就是不确定的事情。1、经济增长模型标准的经济生产模型：其中产出取决于劳动和实物资本。经验证据和逻辑都支持产出是劳动力和资本凹函数的假设。保持固定资本，随着投入的劳动力的增加，劳动力的价值应该变得越来越低。同样，在保持工人数量不变的情况下，添加更多的机器或计算机会增加更少的价值。柯布-道格拉斯模型：给定L个工人和K个单位资本，总产出如下所示：

其中a是介于0到1之间的实数，表示劳动力的相对重要性。简单增长模型：假设投资等于储蓄率乘以产出，并假设机器按某个不变的折旧率折旧。

索洛*增长模型：经济体中的总产出由以下方程给出：

其中，L表示劳动量，K表示实物资本量，A表示技术水平。长期均衡产出O*由下面的方程给出：

长期均衡产出随劳动力数量的增加、技术的进步、储蓄率的提高而增加，同时随折旧率的上升而下降。这个计算过程揭示了创新乘数（innovation multiplier）的存在，创新有两个效应。首先，创新直接增加产出；其次，创新间接导致更多的资本投资，从而导致产出再次增加。因此，创新是持续增长的关键。

一旦包括了非线性，直觉就变得不够用了。直觉可以告诉我们影响的方向：储蓄的增加、劳动力的增加和技术创新可以加快增长。