薛定谔方程用哪些数学知识（五分钟彻底搞懂）

薛定谔方程用哪些数学知识（五分钟彻底搞懂）这里要注意的是，薛定谔方程解出来的波函数，是一个与时间有关的函数，所以每一个时刻都有一个像上面一样的函数图，且每个时刻函数图都不一样。所以要完整的表达波函数，相当于要把每一个时刻的波函数图像画出来，然后把所有函数图串起来才是一个完整的波函数图像，如下图所示。请注意这个图是一个三维的，所以你要把它当成一个三维图，不要在当成平面图来看，图像就好像是一圈一圈的环线一样围绕x轴旋转，中间部位比较胖，两端比较瘦。首先你要明白薛定谔方程的解是一个“函数”，请注意我们以往解一个方程都是求出一个值，比如5x=20，我们可以算出解x=4。但是你要明白，薛定谔方程出来的解不是一个定值而是一个函数，函数就意味着说有x和y，一旦x值变化了，y值也要变化，比如函数y=x*2 3。而且你还要明白，求解出来的薛定谔方程的解不仅仅是一个函数，而且函数y是复数不是实数，实数我们都知道可以是1、2、1/3、根号2等等，但是复

我主要围绕微观世界的不确定性、叠加态等概念来讲解，其中主要讲解了爱因斯坦对微观世界的理解，以及哥本哈根学派对微观世界的解释。其实通过前面的文章我们可以看出，微观世界的确和我我们宏观世界差距非常大，由于人类几千年来都生活在宏观世界里，所以积累起来的经验和直觉一旦放到微观世界，我们就会觉得非常不可思议。但是诚如爱因斯坦提出狭义相对论时一个道理，也是一个非常反常识的理论，最后被证明居然是正确的，这也是人类第一次通过理性战胜直觉的巨大进步。

微观世界里面有几个奇特的现象，那就是微观世界具有“不确定性”，但是同时我们也知道不确定不等于不可研究，也不等于无规律，因为微观的“不确定”特点恰好就是微观世界的规律，所以我们只要掌握住了这个规律，一样可以研究微观世界来为人类服务，这个规律我们如何描述呢？那就是薛定谔方程。

可以这么说，牛顿定律在宏观世界里几乎是无所不能，那么“薛定谔方程”就是微观世界的“牛顿力学”，只不过微观世界一般人不会直接观看到，所以对薛定谔这个人感觉没有牛顿名气大，下面我正式给出薛定谔方程的形式。

咋看之下我相信大部分朋友都是直接蒙圈，这里面很多数学符号都很陌生，这和前面我给出爱因斯坦广义相对论“场方程”是一个效果，看后马上蒙圈。不过这里我还是要对比下，以前我写狭义相对论时，其实只要你懂速度公式v=s/t，其实任何人都是可以理解狭义相对论的。但是广义相对论和薛定谔方程，则不是一般人可以看懂，因为要理解这个方程，必须要学习高等数学，里面有很多概念比如“二阶”、“偏微分”、“非线性”、“拉普拉算符”、“定态”、“哈密顿量”、“复数”等等，陌生概念太多了，这里就不一一列举了，这里我也不打算多对每个陌生概念依次做解释，因为之前写广义相对论场方程时，已经不少网友表示枯燥无味，所以我直接解释这个方程是用来干啥即可。

首先你要明白薛定谔方程的解是一个“函数”，请注意我们以往解一个方程都是求出一个值，比如5x=20，我们可以算出解x=4。但是你要明白，薛定谔方程出来的解不是一个定值而是一个函数，函数就意味着说有x和y，一旦x值变化了，y值也要变化，比如函数y=x*2 3。

而且你还要明白，求解出来的薛定谔方程的解不仅仅是一个函数，而且函数y是复数不是实数，实数我们都知道可以是1、2、1/3、根号2等等，但是复数可以是：1 3i（如果不懂啥时复数，可以去自己查查资料，这里就不解释），要表示一个复数，就必须用平面上的一个点，而不是数轴上的一个点，所以薛定谔方程的解，也就是波函数它的x是数轴上的一个点，但是y是一个平面上的点。由于y不是实数而是复数，所以这个解的函数图像就不太方面画出来，不过如果我们把y进行降维，只考虑实数上的的函数图像（也就是把真实的函数图像映射到实数平面上来）你会发现下图，其中x是一个粒子的位置，y的物理含义暂时不说。

其实由于我们的空间是三维的，刚刚的图只是二维，还有一个维度我们没用上，所以为了更直观的看到波函数的图像，我们可以把y依然保留再复数域，那么函数就是一个三维的图像，如下图所示，其中x依然是一个粒子的位置信息，y的含义还是暂时不说。

请注意这个图是一个三维的，所以你要把它当成一个三维图，不要在当成平面图来看，图像就好像是一圈一圈的环线一样围绕x轴旋转，中间部位比较胖，两端比较瘦。

这里要注意的是，薛定谔方程解出来的波函数，是一个与时间有关的函数，所以每一个时刻都有一个像上面一样的函数图，且每个时刻函数图都不一样。所以要完整的表达波函数，相当于要把每一个时刻的波函数图像画出来，然后把所有函数图串起来才是一个完整的波函数图像，如下图所示。

有了波函数我们能干啥呢？毫无疑问就是为了预测粒子的将来，就好像牛顿力学一样，我们可以根据平抛一个小球的初始信息，计算出将来任意一时刻小球的状态。但是由于微观世界具有不确定性，所以我们只能根据初始信息，计算出一个微观粒子将来某时刻“处于某种状态”的概率。所以波函数的作用就是用来求“概率”的。

刚刚上面所有的波函数的图像，其实是一个微观粒子的“位置波函数”图像，因为横坐标x是粒子的位置，如果把横坐标x换成粒子的速度，其实也能得出微观粒子的“速度波函数”图像，这个后面再谈。位置波函数自然就是用来预测一个微观粒子的位置信息。

当我们通过薛定谔方程，解出了一个位置波函数，那么t=1时，这个位置波函数就可以画出来，粒子处于任何可能的位置对应的概率值就都能求出来。当t=2时，这个位置波函数又会变成另外一幅图，粒子处于任何可能的位置对应的概率值又可以重新求出来。所以你要想知道未来粒子的状态，先明确到底要想知道哪个时刻的状态，然后把对应的位置波函数一画，粒子所有位置对应的概率都求出来了，这就是量子力学描述微观世界中一个粒子将来如何运动的方式。

当然本篇文章只是对薛定谔方程做了一个大概的讲解，薛定谔方程实际内涵可比刚刚讲的多的多，而且本篇文章我故意不说波函数Y的物理含义，其实之所以不说，是因为薛定谔本人自己都不清楚这个Y到底是啥物理含义，只知道x坐标可以是粒子位置，也可以是粒子速度，所以有一句搞笑的话叫：薛定谔不懂“薛定谔方程”。