结构抗震的基本理论（浅谈结构抗震概念）

结构抗震的基本理论（浅谈结构抗震概念）弹塑性时程分析程序编制对结构工程师来说几乎是另一个领域，就好像是战场上狙击手使用狙击枪，而弹塑性时程分析编程数学力学方法是制造狙击枪，工程师虽然不能造枪，但理解其制造原理也非常重要，有些内容也必须熟悉，否则很难成为一个优秀的狙击手。1940年5月18日，位于加州南部的埃尔森特罗的一台强震仪，记录下了上面的那副完整地震波形，这就是El Centro地震。弹塑性阶段结构地震性能化设计的一个先决条件是工程师能够利用计算机程序弹塑性时程分析。什么叫时程分析，就是地震动（位移、速度、加速度）连续作用于建筑基础上，程序分析其对引起的建筑质量（楼层）的震动反应（位移、速度、加速度）。地面运动分位移谱、速度谱、加速度谱，一般采用及速度谱（频率、振幅、时长），下图是有名的美国ELCcentro地震动加速度谱曲线。注：这个中文音译为“埃尔森特罗”的地震波为什么非常有名呢？人类对地震研究的渴望由来已久，为了能够

作者：王锁军

奥福科技有限公司（原北京蓝图工程设计有限公司）

浅谈建筑结构抗震设计概念（下）二

-弹塑性动力时程分析简介

弹塑性阶段结构地震性能化设计的一个先决条件是工程师能够利用计算机程序弹塑性时程分析。什么叫时程分析，就是地震动（位移、速度、加速度）连续作用于建筑基础上，程序分析其对引起的建筑质量（楼层）的震动反应（位移、速度、加速度）。地面运动分位移谱、速度谱、加速度谱，一般采用及速度谱（频率、振幅、时长），下图是有名的美国ELCcentro地震动加速度谱曲线。

注：这个中文音译为“埃尔森特罗”的地震波为什么非常有名呢？人类对地震研究的渴望由来已久，为了能够记录地震波的形态，在各地设置了不少的地震仪等待着下一次地震的到来。但是，直到1923年日本关东大地震之前，所有地震仪的指针都会在地震过程中被震飞。关东大地震过后，人们总算是留下了一些记录，但事后分析的时候发现记录下来的地震波和真实情况还是不一样。

事情的转机，在于美国1930年代发明的强震仪。用它可以在强震下完整记录地震波形，这种强震仪生产出来之后就安置在加州附近。

1940年5月18日，位于加州南部的埃尔森特罗的一台强震仪，记录下了上面的那副完整地震波形，这就是El Centro地震。

弹塑性时程分析程序编制对结构工程师来说几乎是另一个领域，就好像是战场上狙击手使用狙击枪，而弹塑性时程分析编程数学力学方法是制造狙击枪，工程师虽然不能造枪，但理解其制造原理也非常重要，有些内容也必须熟悉，否则很难成为一个优秀的狙击手。

为了说清楚弹塑性时程分析基本原理，我们还是从工程师比较熟悉的结构振型分解反应谱法说起。

一

有关振型分解反应谱法，我的《浅谈上》二~八已经介绍的很详细了，为了更好衔接，回顾一下。

多质点弹性结构的振动位移可以用各阶振型叠加。规范的振型分解反应谱法是采用单自由度体系质点不同自振周期下的不同场地地震波激励出的最大质点反应，归纳出来有一定包络程度的反应数值绘制成一条曲线（我国规范是按小震地震动加速度峰值的2.25倍），作为一个标准给设计人执行。

而时程分析是要计算某实际地震动波的结构反应，那如何计算呢？我们回顾下《浅谈上五》，单自由体系响应采用的是杜哈梅积分：

先把复杂的外动荷载曲线的一个微段变成一个初速度

（见下图）

这样任何波形的地震动，都可以通过如下的杜哈梅积分求解：

杜哈梅因为采用的是微段冲量叠加法，故只能用于弹性体系。弹性体系也可以采用数值方法，即所谓的显式、隐式数值法求解地震动下质点的响应（下面介绍），其求解效率高于杜哈梅积分。

振型分解再叠反应谱法见规范下图：

以上可以看出，振型分解反应谱法，不是真正的动力分析，我们可以叫做准动力法，是把规范给定的地震作用（地震影响系数乘以结构总等效质量）用振型叠加的方法分配给每个质点。

为什么叫准动力呢？因为这个地震响应不是某一个真实的地震动带来的，而是规范直接规定的。它的优势是对某场地的经历的地震和未来可能的地震的一个归纳和保证，不足是无法反应真实的地震作用下结构的真实反应。而计算出某一真实的地震波的结构反应其优劣正好则与反应谱法相反，因此规范规定首先进行振型分解反应谱法进行计算，然后对复杂的结构用时程分析进行补充计算，有些更复杂的必须进行时程分析，与反应谱法综合考量。这就是如下图《高规》对时程分析规定的背景。

二

如何计算某一条地震动波下的多自由度结构各质点的地震响应呢？

我们可以从上述的单自由度体系动力反应的杜哈梅积分进行扩展到多质点体系，这是一个复杂的力学数学问题，详细的过程对工程师也没必要熟悉，实话说我没也能力讲。

简单了解如下的计算公式：

用语言解释下这个公式的意义：

我们谈过的杜哈梅积分用于单自由度体系质点的响应计算，图中的积分公式可以理解为单自由度体系杜哈梅积分在多自由度体系各质点响应计算上的扩展。其中参数

(t)、

（t）为和第n阶振型自振周期和阻尼比相同的单自由度体系地震反应位移和加速度，这就是弹性时程分析法的原理。

但是，现在常用的弹性动力时程分析不是这种卷积分的方法，而是采用显式或隐式的数值积分方法，效率比杜哈梅卷积分效率高。

三

单质点弹性体系的数值分析。

先从这个最简单的情况说起。对于一个弹性体系，运动方程为：

这里的

即为等效地震力

。

=KU

对于非弹性体系，运动方程时一样的，只是把弹性体系的力与位移关系改为弹塑性本构关系

。

地震作用力划分成很小的时间间隔

=

，在这个时间间隔内我们可以把地震力当成一个不变的地震力

改写下动力方程为：

结构的地震反应谱都是曲线，当划分为很小的时间间隔后，我们可以粗略的计算为折线，见下图：

=

/2

=

/

代入到动力方程中，可以得到一个关于

的方程（文献1）：

t(i 1)时刻的反应位移和结构的质量、刚度、阻尼（这些参数是不变的）和外力

，以及t(i)和t(i-1)时刻的位移

、

有关，这些参数都是已知的，故称为显式数值法。

由于存在计算机01的计算数值误差及微段曲线与直线的误差，为了减少这种误差，必须时间间隔足够短，通常取0.01到0.02秒。显式算法优势是不存在收敛问题，不足是计算误差较大。为了减少计算误差，一个外国人（实际这些基础理论几乎都是外国人搞的）发展进化出了Newmark法，所谓的隐式法。

为什么叫隐式，大家仔细看这个关于

的公式，首先公式构造了γ、β参数以使等式更加接近实际的曲线，再次是方程左右都有

，无法求解 ，只能逐步逼近，即迭代法故称为隐式法，也就是说在每个时间间隔都要反复迭代。这种方法精度比显式高，但是需要迭代就存在收敛性问题，这些就是结构计算机编程研究的课题了。

继续发展就是非弹性体系数值解法了，常用的是Newton-Raphson、Newmark法。

四

上述讲了单自由度体系弹性和弹塑性时程分析数值分析法，下面简单介绍多自由度体系弹性动力时程分析法和弹塑性动力时程分析。

对于弹性多自由度体系，利用解耦的振型叠加进行计算，比较容易理解。t(i 1)时刻的动力平衡方程和单自由度形式一样，只是各个参数都是矩阵形式。

这里

为弹性体系的力与位移本构关系，阻尼

为经典阻尼。

这样利用计算机矩阵算法就可以从单自由度弹性体系的数值计算（显式和隐式）发展到多自由度弹性体系的数值算法。

现在软件的弹性动力时程分析即为显式或隐式的数值算法。

如果是结构进入弹塑性阶段或阻尼为非经典阻尼，振型之间就不能完全非耦联了。

经典阻尼只和结构的刚度和质量有关，但非经典阻尼也和振型位移有关，见《隔振标准》附录B

看红框里的公式，振型的标准位移和阻尼也有了关系，隔振层和粘滞阻尼器等阻尼都为非经典阻尼。虽然振型之间不能解耦，但是仍然可以近似的采用解耦的振型进行叠加并采用一些参数进行调整。非弹塑性体系振型也是耦联的，但振型之间的联系为弱联系，可以先采用振型叠加法并利用复杂的系数进行调整使之符合实际的情况，我认为工程师理解到这里就够了。

弹塑性时程分析（经典阻尼、非经典阻尼）的数值分析法同样分显式和隐式，原理如上。

软件应用时采用显式和隐式呢？摘自陆新政等所著《建筑抗震弹塑性分析》一段供大家参考：

实际工程中，一般可以直接采用程序默认的方法，有些软件有选择建议，可以参考。

五

如此，就谈完了所有动力分析方法，我们从简单到复杂再总结一下：
1：基底剪力法，本质上是静力法。先用地震影响系数求出总地震作用：

再把地震力按第一振型的样子分配给各个质点。顶部小质量考虑了位移放大作用（见浅谈上六）。

为了便于理解，我把这种方法叫初步准动力法。（过去有完全静力法，是不管什么结构直接采用质量乘以估算的一个系数比如5%施加在结构上，这早已成了历史）。

2：振型分解反应谱法。总结构地震作用和基底剪力法相同，只是把结构的各个振型各质点地震作用都计算出来再叠加，只能用于弹性体系，这种方法可以叫高级准动力法。这显然比只考虑第一阶基本振型的基底剪力法要准确多了，故基底剪力法规范规定了它的适用条件。

3：弹性动力时程分析。直接采用地震动波计算弹性体系的地震反应。采用显式或隐式数值分析法，这是真正的动力法。
4：弹塑性动力时程分析。严格讲不能进行振型叠加了，但这种方法还是采用振型叠加法为基本，并采用参数进行修正，经典阻尼和非经典阻尼都可计算。

七

弹塑性动力时程分析看起来很复杂，但对于性能强大的计算来说似乎都可以解决，真正困难的是材料和构件往复荷载作用下真实的弹塑性滞回曲线本构关系，实验室试验出来的本构关系未必完全符合结构在地震作用下的实际情况。我写过钢结构稳定系列文章，在讲到钢结构的直接分析法时谈到，对于几何非线性程序能很好的解决，但对于材料非线性，就不是程序能解决的了，这是实际材料和模型的天然鸿沟，我们能做的只能尽量减少。程序可把钢筋混凝土构件模拟为纤维模型得到的滞回曲线本构关系，但必须进行试验验证。

目前研究材料和构件本构关系的资料很多，我们结构师只能采用规范给的本构关系（比较成熟的已纳入规范，软件已嵌入），对于复杂的结构。如果规范不能包括某些特殊材料、构件或结构，应该进行试验确定或资料上可信试验研究数据。钢材的滞回曲线的本构关系相对比较简单，混凝土结构就复杂多了。

市场上经过国家认证的各种分析软件很多，工程师不可能完全了解所有应用软件的编制原理（即使专门的研究者也不能做到），对于一般工程，我们结构工程师可以认为，这些软件计算过程和结果基本可信 ，对于复杂的项目规范要求采用两种以上不同软件对比分析，目的是避免软件的计算错误，如果不同的软件计算结果一致，结果互相验证可信度更高，但是如果计算结果差别很大，甄别软件的适用性和分析模型输入和参数的正确性，就要求工程师具有较多的软件编制原理知识。有些大型的复杂项目甚至需要结构设计师和程序编制者共同研究分析。

七

即使是最准确的弹塑性地震反应分析，也只是就发生过的地震波下结构进行分析，人为构造某场地的地震波也是学者研究出的未来一个时期内该场地很可能发生的地震动，我们永远不知道未来哪一天真的会发生什么样的地震动波形，我们采用地震波进行分析本质上是想看看结构在弹塑性地震反应的某些特征和规律，比如构件进入塑性阶段的次序，是否像预期的部位出现，最大地震动加速度和结构反应位移之间的关系，结构倒塌（成为机构、关键构件破坏或屈曲）时结构极限位移等，如果是这种目的的话，也可以采用模拟一组地震的水平作用施加结构上，看看结构进入弹塑性后的各种性能和状态，这对结构实际地震下的性能状态有非常大的参考，这就是静力推到覆分析（Pushover）。地震设防是一种概率，任何分析方法都是预测，都有不足，Pushover也不能例外，下期再说吧，理解了这种方法的原理，对后面所讲的性能化设计很有裨益。

2023年3月7

参考文献：

1：结构动力学理论及其地震工程中的应用

2：结构分析模型 -Dr Graham H.powell

3:建筑抗震弹塑性分析 陆新征等

4:各减隔震规范及抗震规范