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八年级数学二次根式化简(初二数学下册二次根式化简)

八年级数学二次根式化简(初二数学下册二次根式化简)若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。知识点2、最简二次根式二次根号①被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式;②判断时一定要注意不要化简,一定要有意义。

知识点1、二次根式定义

形如图1 式子叫做二次根式;

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二次根式

二次根式必须满足:含有二次根号;被开方数a必须是非负数(含有,且有意义)。

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二次根号

①被开方数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式;

②判断时一定要注意不要化简,一定要有意义。

知识点2、最简二次根式

若二次根式满足:被开方数的因数是整数,因式是整式;被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式叫做最简二次根式。

①根号下无分母,分母中无根号;
②被开方数中没有能开方的因数或因式。

知识点3、二次根式的性质

(1)非负性 √a (a≥0)是一个非负数

注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.

(2)(√a)^2=a (a≥0)

注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或

(3)非负代数式写成

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注意:

(1)字母不一定是正数.

(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.

知识点4、最简二次根式和同类二次根式 

(1)最简二次根式:  

☆最简二次根式的定义:

①被开方数是整数,因式是整式

②被开方数中不含能开得尽方的数或因式,分母中不含根号   

☆同类二次根式(可合并根式): 

几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式

知识点5、二次根式计算——分母有理化  

(1)分母有理化  

定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。

(2)有理化因式:  

两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:

①单项二次根式:利用(下图)来确定 ,如下,分别互为有理化因式。

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②两项二次根式:

利用平方差公式来确定。

如下列式子,互为有理化因式

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(3)分母有理化的方法与步骤:

①先将分子、分母化成最简二次根式;

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;  

知识点6、二次根式计算——二次根式的乘除 

(1)积的算术平方根的性质

积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。

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(2)二次根式的乘法法则

两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。

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(3)商的算术平方根的性质

商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。

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(4)二次根式的除法法则

两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。

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注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.

知识点7、二次根式计算——二次根式的加减 

二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。  

(1)判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。 

(2)二次根式的加减分三个步骤: 

①化成最简二次根式; 

②找出同类二次根式;  

③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并

二次根式中有两个比较重要的公式,在化简中能够经常使用,化简题中需要关注三种题型。

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两个公式都有注意点,公式一中要注意根号中的被开方数必须是非负数,这也是二次根式有意义的条件。公式二最容易出错,有两个易错点,其一:直接开根得到答案为a,这也是最常犯的错误;其二在去绝对值时,得到本身a认为a的取值范围是大于0,其实应该为大于等于0,得到相反数-a,a的取值范围应该小于等于0.

直接化简

在直接化简时,有些题目有隐含条件,需要我们自己去挖掘,有些题目没有隐含条件,就是简单的化简求值题,题目会默认被开方数大于等于0.

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分析:本题中被开方数是分式的形式,需要化简,根据被开方数是非负数,可以得到1-a>0,即a<1。

在化简时,有两种方式,一种是把根号外的部分平方以后移入根号内,然后再进行化简。但是,在移动的过程中还要注意,括号外面的代数式a-1为负数。另外一种方法是将根号中的分式进行分母有理化,即分子、分母同乘以1-a,得到上述的平方再开根先变成绝对值,然后再进行化简。

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将根式外的数或代数式移到根号里面时要是正数,不能随随便便就移进去,特别是代数式。

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平方再开根一定要先变成绝对值,不要直接去根号,那样很容易出错。

条件化简

给定条件再化简,给定的条件可能是具体的范围,也可能多个字母之间的关系,也可能是数轴,变化多样,但是解题思路万变不离其宗。

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分析:遇到平方再开根,先变成绝对值,然后根据已知条件对绝对值中的代数式进行讨论,绝对值中为非负数去绝对值得到本身,绝对值中为非正数,去绝对值时得其相反数。

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不要害怕这类题目,其实主要就是去绝对值。

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分析:通过数轴可知,a<0<b,且|a|>|b|,那么a b<0,原式=aab=2ab。

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