贝叶斯理论在生活的运用（什么是贝叶斯劝说基本模型）

贝叶斯理论在生活的运用（什么是贝叶斯劝说基本模型）在检察官的这个策略下，法官效用最大的策略是：如果信号的输出为0，则被告人一定无罪，一定会采用宣布无罪的行动；而如果信号的输出为1，则被告人无罪的后验概率为0.5----此时无论采用哪种行动，法官的期望效用都是0.5。因此，我们可以假设法官会采用对于检察官有利的行动宣布被告人有罪。综合来看，信号输出0的概率为0.4，输出1的概率为0.6，所以法官的期望效用为0.7，检察官的期望效用为0.6（大于之前的0.3）。事实可以证明，这个信号是使得检察官效用最大化的最优信号。2. 如果被告人无罪，检察官则以3/7的概率输出1，以4/7的概率输出0（呈现被告人无罪的证据）。在这个简单的例子中，假设检察官什么也不做，从法官的角度来看，此时被告人无罪的概率较大，概率为0.7，所以法官会始终采用宣布无罪的行动，此时法官的期望效用为0.7，检察官的期望效用为0。相反，如果检察官收集了所有的证据可以准确地判断被告

自埃米尔·卡梅尼察（Emir Kamenica）和马修·根茨科（Matthew Gentzkow）在2011年提出了“贝叶斯劝说”（Bayesian persuasion）的研究框架以来，信息设计理论被认为是21世纪第二个10年中最重大的经济学突破之一，也是经济学和计算科学交叉的前沿方向。信息设计理论的突破性贡献，在于重塑了人们对信息在经济活动中所扮演角色的认识。在信息设计理论出现之前，信息是作为环境条件影响博弈和机制设计的，而信息设计理论的出现，揭示了信息不仅是博弈的环境条件，还支撑了决策者策略空间的一个新维度：控制和影响信息的产生。通过一整套研究范式，信息设计理论向人们展现了一系列深刻、反直觉但影响深远的理论结果，例如信息不完全披露的合理性。信息设计不仅能让我们系统性地洞悉个人、企业、政府在信息披露时的行为，也为信息管理提供了一整套新工程思路，例如通过信息设计来进行市场有效性治理。而信息设计理论和工程研究，都直接涉及一系列计算问题。

在一个博弈环境中，决定均衡的因素包含了三个方面：经济结构（例如博弈参与者的相关性质等）、信息结构（比如信息是否完全和对称等）以及博弈规则。博弈论分析在上述三个方面的共同决定下，博弈均衡的存在性和性质。机制设计是讨论在经济结构和信息结构固定的情况下，通过博弈规则的制定，形成激励引导参与者选择规则制定者期望的策略，并实现相应的均衡。而信息设计则是在经济结构和博弈规则固定的情况下，通过信息结构的设计，来引导博弈参与者选择信息设计者期望的策略，并实现响应的均衡。因此，在信息设计问题中，有信息的设计者和接收者两种角色；所谓信息设计，就是指披露一部分恰当的信息给接收者。

信息设计的两种主要经典模型是贝叶斯劝说和贝叶斯相关均衡。下面会介绍贝叶斯劝说模型的基本概念、前沿进展，以及所涉及的计算科学问题。

Kamenica和Gentzkow通过一个例子解释了贝叶斯劝说问题，并提出了研究框架：假设在一个法庭中，有检察官、法官和被告人三个角色。被告人有罪的先验概率为0.3，这是检察官与法官的共同知识。法官有两种行动：宣布无罪或宣布有罪。对于法官来说，如果其做出了正确的裁决，其效用为1，1即在被告人无罪的时候宣布无罪，在被告人有罪的时候宣布有罪，可以获得效用为1的奖励。而对于检察官来说，只要法官宣布被告人有罪则其效用为1，与被告人是否真的有罪无关。

在这个简单的例子中，假设检察官什么也不做，从法官的角度来看，此时被告人无罪的概率较大，概率为0.7，所以法官会始终采用宣布无罪的行动，此时法官的期望效用为0.7，检察官的期望效用为0。相反，如果检察官收集了所有的证据可以准确地判断被告人是否有罪，那么法官会以0.3的概率宣布被告人有罪，此时法官的期望效用为1，检察官的期望效用为0.3。

然而，如果我们进一步思考：检察官是否可以通过巧妙地设计一个关于被告人状态的信号传递给法官，从而进一步提升自身的期望效用呢？答案是肯定的，比如以下策略就能让检察官提高被告人被定罪的概率，从而获得更高的效用：

1. 如果被告人有罪，检察官则以1的概率呈现被告人有罪的证据，标记为输出信号1；

2. 如果被告人无罪，检察官则以3/7的概率输出1，以4/7的概率输出0（呈现被告人无罪的证据）。

在检察官的这个策略下，法官效用最大的策略是：如果信号的输出为0，则被告人一定无罪，一定会采用宣布无罪的行动；而如果信号的输出为1，则被告人无罪的后验概率为0.5----此时无论采用哪种行动，法官的期望效用都是0.5。因此，我们可以假设法官会采用对于检察官有利的行动宣布被告人有罪。综合来看，信号输出0的概率为0.4，输出1的概率为0.6，所以法官的期望效用为0.7，检察官的期望效用为0.6（大于之前的0.3）。事实可以证明，这个信号是使得检察官效用最大化的最优信号。

在Kamenica和Gentzkow提出的这个例子中，检察官是信息设计者，法官是信息接收者。检察官利用自己的信息优势，通过设计呈现证据的策略，影响法官的决策，最终引导法官选择对检察官最有利的行动。因此，贝叶斯劝说就是，信息设计者利用自己所拥有的信息优势，通过策略性的信息披露和产生设计，引导信息接收者的选择，进而让信息设计者获得更大的效用。

这个例子展现了信息设计的基本框架：贝叶斯劝说模型包括两个基本博弈主体—信息发送者与信息接收者。在博弈开始前，自然地存在一个状态环境。对于这个环境的性质，发送者与接收者对自然的状态有一个先验的分布。博弈开始后，发送者产生并发送给接收者一个信号，产生和发送的方式是经过发送者设计的。信息接收者是标准理性决策人，接收者根据这个值更新自己对于自然状态的后验概率分布，然后采取适当的行动来使自己的效用最大化。