分析音乐结构：音乐复杂性 从音符中如何涌现出整个星辰

分析音乐结构：音乐复杂性 从音符中如何涌现出整个星辰论文地址：https://arxiv.org/abs/2207.03602论文标题：Rhythm and form in music: a complex systems approach—— 布朗宁何为音乐？从还原论的定义来看，音乐不过是一段时间上连续的声音或寂静组成的序列。然而杰出的音乐作品，却有着1 1>2的效果，将交响乐拆分成不同乐器的独奏，就失去其壮丽；将其拆分成一个个乐章，听众就无法从中感受到完整的故事。而这背后的科学道理，就是涌现现象，即整体呈现了部分之和所不具有的性质。传统音乐分析中，关注音乐的节奏，只考察节奏的快慢，然而一首乐曲中的节奏并非一成不变的。下文提到的研究通过对节奏异质性（Heterogeneity）、切分节奏（Syncopation）、模块结构（structure）的分析，介绍了一种复杂系统视角下对音乐作品的定量研究模式，并使用该方法分析了不同年代的西方

导语

随着复杂系统领域研究方法的成熟，包括信息熵、混沌边缘等概念被应用于对音乐的分析和生成中。本文先介绍从复杂系统的视角分析音乐，之后是基于复杂网络的音乐类型分类，最后展示基于复杂适应系统的音乐生成工具。从这一系列研究，可以看到艺术之美的背后，有着坚实的科学理论做支撑。而跨学科的认知，可以促成对音乐进行更有深度的赏析。

同时，我们又非常重视对当代音乐的创作实践探索，邀请到了北京师范大学未来设计学院特聘副研究员、作曲和声音设计师周天歌带来「音乐创作——在混沌与分形之中」，以及声音设计师、游戏音乐作曲、音乐科技研究者侯晨钟老师为我们带来「摩尔纹、微光、音序器——从游戏声音设计师的视角解读Steve Reich的音乐」的分享。

欢迎大家报名为期一年的「复杂科学×艺术系列研讨会」，参与科学家和艺术家深度探讨，同时本期活动也将公开直播。

从三和弦中所构造出来的，不是第四个音符，而是整个星辰。

—— 布朗宁

1. 音乐作为一种涌现现象

何为音乐？从还原论的定义来看，音乐不过是一段时间上连续的声音或寂静组成的序列。然而杰出的音乐作品，却有着1 1>2的效果，将交响乐拆分成不同乐器的独奏，就失去其壮丽；将其拆分成一个个乐章，听众就无法从中感受到完整的故事。而这背后的科学道理，就是涌现现象，即整体呈现了部分之和所不具有的性质。

传统音乐分析中，关注音乐的节奏，只考察节奏的快慢，然而一首乐曲中的节奏并非一成不变的。下文提到的研究通过对节奏异质性（Heterogeneity）、切分节奏（Syncopation）、模块结构（structure）的分析，介绍了一种复杂系统视角下对音乐作品的定量研究模式，并使用该方法分析了不同年代的西方古典音乐。

论文标题：Rhythm and form in music: a complex systems approach

论文地址：https://arxiv.org/abs/2207.03602

节奏异质性

小朋友参加乐器演奏考级时，最初弹的曲子没那么复杂，等到了九级，曲子中节奏的变化就会增加。如何定量地描述上述区别，可以使用香农提出的信息熵概念。最初的信息熵，是描述一段文本中蕴含了多少不确定性，一段只是由字母A组成的文本，其中蕴含的信息远比同长度的莎翁诗句要少。将乐谱看成一串符号构成的序列，也可以计算一段乐曲的信息熵，这一数值描述了曲子节奏的多样性程度。

切分节奏

乐曲中并非所有的音符都符合节拍，作曲家通过“由弱到强”的切分音来连接不同的旋律。该研究通过测量非节拍音符的分布与所有音符可能落在节拍中的分布之间的距离，来评价一首曲子的切分节奏（Syncopation）。将节奏的多样性和切分节奏的多少汇总，可计算乐曲的复杂性。具体的计算方法如下图所示，感兴趣的读者可参考原文。

图1：定量衡量音乐异质性和切分节奏的示意图

模块结构

乐曲复杂度的全局指标与每段音乐对应指标的平均值并不相同。这进一步为节奏是一种涌现属性的观点提供了支持证据。想象一个带有复杂音乐主题的乐谱，这些主题在乐曲中重复了很多次，没有任何显著的改变。因此，对乐曲每个主题的分析将揭示出高度的节奏复杂性。相比之下，乐曲整体的复杂性会很低，因为尽管这些主题本身就很复杂，但从整体来看却会变得重复和可预测。

2. 音符连接网络，量化分析音乐复杂性

钢琴演奏时，音符持续的时间有长有短，在感知层面上，声音事件的长度在理解声音结构方面起着决定性的作用，一个持续时间更长的音符，可以被看成是英语中的重音，标志着一段节奏的开始或结束。而一段时间内的沉默，也会被听者视为是一个独立的音符。由此，将曲谱中音符的持续时间按长短绘制柱状图，再将长的音符和之后比它短的音符连接组成图。上述的音符连接图拓扑包含了该段的聚类信息，我们可以使用图的度数分布来提取这些信息。具体来说，可通过聚类算法，将乐曲分为多个模块，如图2所示：

图2

对莫扎特的A大调第11号钢琴奏鸣曲的音符进行模块分析后，绘制的音符连接图聚类后，聚类算法给出的四个聚类簇与乐曲初始主题的结构准确对应。

根据音符网络中度数的分布，可以计算该网络的同配性（assortativity）与传递性（transitivity），具体的定义限于篇幅略去。值得注意的是，某些乐曲中持续时间短的段落和长时间段落，在度数分布上符合幂律法则，即乐曲中持续时间较长的模块，和较短的模块在其内部音符的持续时间上，有着相似的规律。

图3：莫扎特的A大调第11号钢琴奏鸣曲的音符可见性图的度相关性呈现 b=0.12 的幂律分布

而通过对不同年代作曲家典型乐曲的定量分析（图4），可以发现，从巴赫到德彪西，乐曲的复杂性在上升，而乐曲不同模块之间的同配性和连接性在下降。尽管该方法只是基于少量乐曲，但上述结论是符合直觉的，我们会觉得巴赫的曲子有规律可循，之后的作曲家不断打破规则，在丰富音乐表现力的同时，使得乐曲变得更加不可预测。