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对坐标的曲线积分怎样理解(从命题人的一段话来谈对坐标的曲线积分计算)

对坐标的曲线积分怎样理解(从命题人的一段话来谈对坐标的曲线积分计算)命题人的命题角度-01题外话:做曲线,曲面积分的时候,一些习惯: 1.首先可以看能否讲曲线,曲面方程代入被积分函数; 2.其次看看能否用对称性等来简化计算(第二类其实是投影的正负关系); 注意二重,三重积分不可代,因为他们不只是在边界上积分;法1:参数化定积分法(参数,2特殊);要点:“一代:,"二换”,“三定限”。 变量参数化,计算定积分,下限为起点,上限为终点,并非大和小; 前提是:容易找参数式,且积分相对容易算参数化定积分法第五部分0.定义与性质方法综述:

0.内容综述
  • 命题人的一段话,分析平面坐标对坐标曲线积分的常见考点
  • 定义与性质(与路径方向有关)
  • 计算方法4种:直接参数法,格林公式法,补线用格林与换线或挖洞用格林,与路径无关;以及方法如何进行选择;
  • 典型条件剖析与证明题思路

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品系前命题人的两段话

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第一部分

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第二部分

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第三部分

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第四部分

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第五部分

  • 请仔细体会这个命题过程解析,提供了6个考察方向,5种计算方法,真题一般包含了3-5个知识点的综合;在此从这6个角度,为了简洁省时间不做盈利,就直接结合市面上的一些资料拍照截图来进行梳理复习一下,表示对他们的辛苦表示感谢,无意侵权,本文纯属无聊作品,仅供参考;
1.定义,性质(与路径方向有关)

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0.定义与性质

2.计算方法( 多元积分学部分,考题以计算为主,在此主要分析计算方法;)

方法综述:

题外话:做曲线,曲面积分的时候,一些习惯: 1.首先可以看能否讲曲线,曲面方程代入被积分函数; 2.其次看看能否用对称性等来简化计算(第二类其实是投影的正负关系); 注意二重,三重积分不可代,因为他们不只是在边界上积分;法1:参数化定积分法(参数,2特殊);

要点:“一代:,"二换”,“三定限”。 变量参数化,计算定积分,下限为起点,上限为终点,并非大和小; 前提是:容易找参数式,且积分相对容易算

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参数化定积分法

  • 具体应用过程,可结合教材,资料或者网上其他老师授课视频理解掌握,例如四川大学徐小湛高数,或者中国mooc网各种学校授课视频,例如合肥工业大学,以及考研有关视频均可,在此不文字赘述了,我仅作梳理。

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命题人的命题角度-01

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例题1

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例题2

法2:格林公式化二重; (注意前提条件)很重要和常用的方法

思考:能不能一招鲜,吃遍天,格林到底呢?

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格林公式

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注解

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命题考法角度-2

  • 格林公式的程序;

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格林公式的解题程序

  • 使用定理和结论前,千万要搞清楚适用范围,前提条件是什么!!!在此格林公式请注意条件 偏导连续的这个条件→有时候暗示你挖洞,换线,或分类讨论;这里就解答了什么时候需要补线,什么时候是挖洞用格林公式。

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见下文例题46

法三:补线用格林公式(亦称加减弧段法);挖洞或换条路径用格林公式

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补线用格林

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例题

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例题2

  • 1987年 考题解析,法一:格林公式;法二:参数直接法

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例题解析

  • 以下文字继续摘自前命题剖析话语,分别是 补线用格林公式,和 挖洞或换条线用格林公式

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命题人考法角度-03

  • 99年考题 补线用格林公式;

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真题解析

  • 2000年考题

注意此处的细节,R>1 R<1,常见的思想,“格林公式的偏导数要连续的条件”

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2000年考题

一个经典的母题分析,请记住。(遗憾2020考过了,但是还是比较经典的)

例题摘自李王复习全书,应该是武忠祥老师修改的这部分; 注意体会分析和评注,以及理解结论

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典型例题

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格林公式的条件

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解答

  • 由上面例题的到下面两个重要结论:

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经典结论

  • 练习题:2020数一考题,其实就是2000题翻新,会了上面例题,这个题 我想你就会了。

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2020年还是考了很多典型考题

法4:利用与路径无关,换条线或者原函数法;

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命题人考题角度-04

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知识体系

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求原函数的方法

  • 与路径无关:走折线,先横后竖;或者先竖后横着,前者先dy=0 后者先dx=0,dC(常数)=0

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例题1

  • 与路径无关:原函数法

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改路径

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原函数法


方法那么多,做题到底选那个呢?选择方法的两套程序(任意选一套即可)

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结构

第一套程序:
0,先看是否可代入方程,或者对称性;
1.第一步:先看封闭与否;
①封闭→格林公式,亦可直接法

[特殊的封闭且与路径无关,则积分值为0;封闭但含奇点,挖洞或者定理5换线用格林}
②不封闭→进入第二步
2.第二步:再看是否与路径无关,计算偏导数əp/əy=əQ/əx,判相等?;
①若偏导相等,与路径无关,則
(a) 改换路径,走折线
(b) 原函数法
-凑微分,观察法;积分还原法;反过来利用与路径无关来求;
②若偏导不等,与路径无关,則
(a)若直接法简单,就直接法,否则补线用格林
(b)补线用格林

典型的构思
1.一分为二的细节 R<1 R>1,是否含奇点和不含奇点(格林公式的前提条件)
2.证与路径无关的构思
3.那个典型的图
4.记几个典型的例题在心中

  • 第二套选择流程;

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本章关于求表达式的浅谈:

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命题角度6

题外话:关于求f(X),经过分析研究数二对于这个设问法属于绝对的高频;看我过去的分析

此前文档给数二反复强调过,要自己去总结常见的求f(x)的考法,不同条件不同的方法,不过考题条件设置类型有限;可以参考陈文灯先生的《复习指南》该部分作为补充,会有所帮助的;

除了个别中学玩法,2020数二考题外,求f(x)得主体方向利用已知条件,建立起等式,经过化简整理,求导等手段,化为积分或者微分问题。

在本章求表达式的主要构思,就是利用与路径无关的命题,偏导等式来求解;

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典型构思

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前文答案

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一定要识别出这个意图

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与路径无关

  • 分析一个经典的考题

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  • 命题人在此好心,设置了第一问为第二问提供了台阶,第一问证明了积分值为0,进而单连通区域得到与路径无关,从而得到 :上文所述的偏导相等,进而求解;若擦掉了第一问也要想到;

1.假设没有第一问,直接看第二问,求表达式,再看条件,给的曲线积分,在此我们就应该要知道本章求表达式的主要构思就是利用前文所述:”与路径无关的那个偏导等式条件“,由此我们就要想办法说明“偏导等式“成立的原由→单区域,只要说明与路径无关即可;

2.而证明与路径无关的步骤: a.先考虑利用偏导等式; b.再考虑用原函数; c.再考虑:证明D内任一光滑闭区域曲线L的积分值为0.

本题由于被积函数含抽象函数,故无法利用偏导等式和原函数来说明,故只能考虑证:”D内任一光滑闭区域曲线L的积分值为0.“进而其实也会想到与第一问(1)类似的方向,但是本题命题好心了,直接给我们做了铺垫了。

在此请认真体会本题关于第一问的证明,以及这个典型的条件的解读:

求出表达式之后本题还可以继续设置请求出 这个常数A

请体会关键手法:大圆连接不含奇点的小圆,2条绕原点作差;(经典) 典型条件解读:记住这个图以及记住这个证法;

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请认真体会下面证明方法

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01

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02

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03

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例题2

对坐标的曲线积分怎样理解(从命题人的一段话来谈对坐标的曲线积分计算)(48)

摘自李王《复习全书》

  • 练习题:你知道思路了吗?

对坐标的曲线积分怎样理解(从命题人的一段话来谈对坐标的曲线积分计算)(49)

先证原点外区域与路径无关,再偏导相等

本期内容就到此停笔了,就先带大家一起复习这些内容,我们下期再见;

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