初中几何辅助线的技巧讲解（中考几何进阶33辅助线法则）
初中几何辅助线的技巧讲解（中考几何进阶33辅助线法则）在探讨M轨迹问题之前，说明一下∠DAP平分线作图问题：连接BK并延长交AE延长线于M。显然射线AL动，则K在圆A(a)上动，则M点在动。那么，动点M的轨迹是什么呢？（这可以作为一道题了）〖一般性提点〗从后面〖题目分析〗部分可知，题目本身没有太大难度。但深度挖掘，可以发现一些很有趣的东西：角平分线的另类作图法，以及一系列比较高难的几何题的出处。如图，过D作角平分线AE的垂线，交AP于K，则易见D、K、B在以A为圆心，以正方形边长a为半径的圆弧上，记为圆A(a)。
中考几何进阶 33 辅助线法则 角平分线模型 正方形中的角平分线性质
从一道简单的几何题讲起。文章比较长，但很重要也很有趣，耐心看完。
题. 《正方形与角平分线》
正方形ABCD中，P是BC边上任意一点，连接AP，AE是∠DAP的平分线，交CD于点E。试探讨AP、BP与DE之间存在的关系。
〖一般性提点〗
从后面〖题目分析〗部分可知，题目本身没有太大难度。但深度挖掘，可以发现一些很有趣的东西：角平分线的另类作图法，以及一系列比较高难的几何题的出处。
如图，过D作角平分线AE的垂线，交AP于K，则易见D、K、B在以A为圆心，以正方形边长a为半径的圆弧上，记为圆A(a)。
连接BK并延长交AE延长线于M。显然射线AL动，则K在圆A(a)上动，则M点在动。那么，动点M的轨迹是什么呢？（这可以作为一道题了）
在探讨M轨迹问题之前，说明一下∠DAP平分线作图问题：
作圆A(a)交射线AL于K，连接 DK，作线段DK的垂分线即为∠DAP的平分线。
回到M的轨迹问题。
因为关键关联动点K的轨迹是圆，猜测M的轨迹也是圆（起码是直线的概率非常低），若如此，动点M对定线段AB所张的角理应是一个定值，且M、A、B在同一个圆上，那么圆心就在AB的垂分线上。而AB垂分线上有一个特别的点，那就是正方形的中心。M可能就在正方形的外接圆上。要真是这样的话，就得有∠AMB＝45°。那么∠AMB是不是45°呢？这就和角平分线搭上关系了。
△ABK是等腰三角形，作AN⊥BK于N，则AN平分∠KAB。
如图，α＋θ＝45°，△ANM是等腰直角三角形，∠AMB＝45°。易知点M在正方形外接圆上。
连接CM、DM，则CM⊥AM，DM⊥BM。AM平分∠DMB，BM平分∠CMA。∠DMC＝135°
过B作BM的垂线，分别交MA延长线和MC延长线于G、H，则
△ABG≌△BCM；△ABM≌△CBH；
AM＋CM＝GM＝HM＝√2·BM。
由此衍生很多典型题（请自行解题）：
题a. 正方形ABCD中，射线AL上取一点K，使得AK＝AB，BK延长线交∠DAL平分线于M，求证（1）CM⊥AM；（2）DM⊥BM
题b. 正方形ABCD中，射线AL上取一点K，使得AK＝AB，作DM⊥BK延长线于M，求证AM平分∠DAK。
题c. 正方形ABCD中，AL是一条射线，作CM⊥∠DAL的平分线于M，连接BM交AL于K，求证：AK＝AB。
题d. 正方形ABCD中，K是射线AL上一点且AK＝AB，作DM⊥BK延长线于M，求证：AM＋CM＝√2·BM。
题e. 正方形ABCD中，射线AL交BC于P，而AK＝AB，作DM⊥BK延长线于M，AM交CD于E，求证DE＝AP－BP。
还可以构造更多相关的几何题，就不再一一举例。核心要点在于AM是∠DAL的角平分线，M在ABCD的外接圆上。
或者题设AM是∠DAL的平分线，或者你需要证明AM是∠DAL的平分线。这是这一系列几何题的关键。
最后，看看角平分线的作图问题：
在射线AL上取一点K，连接BK并延长，作DM⊥BK的延长线于M，则AM平分∠DAL。
你，掌握了吗？
〖题目分析〗
题设 求 三个线段之间的关系，多数情况下，或存在线性关系，或者线段比存在线性关系。
既然P是动点，暗示三者之间的关系和P的位置无关，可以从极端或特殊点，估计三者之间的 关系。
若P与B重合，则DE＝a，即正方形边长，AP＝a，BP＝0，则DE＝AP±BP；
若P与C重合，则由角平分线定理DE＝(√2－1)a，AP＝√2 a，BP＝a，易见DE＝AP－BP。
综合上述，三线段关系为：
DE＝AP－BP。
接下来就要证明这个立论。
从角度分析入手。
方法1
常规的方法，是截长补短。截长的话即AP－BP，所得三角形找不到与DE关联的三角形全等，再试一试补短。
正方形对角互补，又有线段相等，满足补角边补全等的条件，这样不相干的两条线段DE和BP可以转换为一条线段。既可以在AB边补全等，也可以在AD边补全等。我们采用后者。
△ABP逆时针旋转90°至△ADP´，则△ADP´≌△ABP，△P´AE为顶角2α，底角为α＋β的等腰三角形，AP´＝EP´；且AP´＝AP，DP´＝BP，结果得：
AP＝EP´＝DE＋P´D＝DE＋BP，即
DE＝AP－BP。
