数学求抛物线的顶点式（抛物线性质汇总）
数学求抛物线的顶点式（抛物线性质汇总）其中t为参数，显然t=x/y，故参数t的几何意义为抛物线上任意点（除顶点外）与原点连线的斜率的倒数。2.抛物线参数方程上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。1.抛物线标准方程其中p>0，几何意义为焦准距，下同。不再详述。
上两篇文章已对椭圆及双曲线性质进行了汇总，本文对高考考点中涉及的抛物线的部分性质进行汇总。
注：以下仅讨论焦点在x轴上且开口向右的抛物线性质。
抛物线定义平面内到定点F（p/2，0）的距离和到定直线l：x=-p/2的距离之比为常数e=1的点的轨迹是抛物线。其中定点F（p/2，0）为抛物线的焦点，定直线l：x=-p/2为抛物线的准线。
此为课本上的标准定义，不再详述。
上述定义即可作为判定定理也可作为性质定理。
抛物线方程1.抛物线标准方程
其中p>0，几何意义为焦准距，下同。不再详述。
2.抛物线参数方程
其中t为参数，显然t=x/y，故参数t的几何意义为抛物线上任意点（除顶点外）与原点连线的斜率的倒数。
切线1.抛物线切线定理
抛物线上任意点P，其在准线上的射影为M，抛物线焦点为F，则过P点的切线平分∠MPF。
此定理揭示了抛物线的一条光学性质，该性质在高中数学课本上也有提及，即从抛物线的一个焦点发出的光线，经抛物线反射后变成平行光。
2.抛物线切线方程
过抛物线上一点P（x0，y0）的的切线方程为：
上述两个证明过程都用到了隐函数求导，高中范围不涉及该知识点，有兴趣的同学可以尝试用二次函数判别式推导。
3.抛物线切点弦方程
过抛物线外一点P（x0，y0），做抛物线上的两条切线，切点为A，B，则过A，B的切点弦方程为：
4.切点弦性质
性质1：准线上的点形成的切点弦过焦点。
证：设P在准线上，故P点坐标为（-p/2，y0），
将P点坐标代入切点弦方程，即：y0y=p（x-p/2）
显然此方程过点F（p/2，0）。
性质2：做抛物线外一点的切点弦，如果过焦点，则此点必在准线上。
证：设P（x0，y0），则P点对应的切点弦方程为：y0y=p（x x0），
将焦点F（p/2，0）代入切点弦方程，即：0=p（p/2 x0），
则x0=-p/2，即P点在准线上。
焦半径及焦点弦1.焦半径长
焦半径长公式1：
通过准线性质容易得到。
焦半径长公式2：
其中α为焦半径与x轴正半轴夹角。
当A点位于x轴以上（含x轴，此时A点为顶点，可认为此时焦半径与x轴正半轴夹角为180°）时，分母取负，当A点位于x轴以下时，分母取正。
推导如下：
设抛物线焦点为F，过F的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，取AB中点C(x3，y3)。过A做x轴垂线，垂足为D。A、B、C、D在准线上的射影分别为A'、B'、C'、D'。设AB与x轴夹角为α。（以下诸性质均以上图进行证明）
2.焦半径关系
由焦半径公式2，容易得到：
3.焦点弦性质
性质1：以焦点弦为直径的圆与准线相切。
即：以AB为直径的圆与A'B'相切
证：设以AB为直径的圆半径为r，显然圆心为C。
CC'为梯形AA'B'B的中位线，故圆心C到准线距离：
故以AB为直径的圆与准线相切。
显然，∠AC'B=90°。
性质2：以焦点弦在准线上的射影为直径的圆与焦点弦相切。
即：以A'B'为直径的圆与AB相切
证：∵AA'=AF，∴ ∠AA'F=∠AFA'
∵AA'∥FD'，∴∠AA'F=∠A'FD'
同理：∠BFB'=∠B'FD
∴∠A'FB'=90°，∴C'F=A'B'/2=A'C'
又∵AC'=AC'，∴△AA'C'≌ △AFC，∴C'F⊥AB，
∴以A'B为直径的圆与AB相切。
显然且已证明：∠A'FB'=90°，C'F=A'B'/2， C'F⊥AB。
4.焦点弦长
焦点弦长公式1：
由焦半径公式1可推得。
焦点弦长公式2：
由焦半径公式2可得
特别的：当α=90°时，上式结果即为通径长：2p。且依据正弦函数性质可知，抛物线通径是最短的焦点弦。
焦点弦长公式3：
其中k为通径所在直线斜率。
特别的：当k趋于无穷大时，上式结果即为通径长：2p。
5.焦点弦三角形
焦点弦与顶点构成的三角形面积公式：
推导如下：
特别的：当α=90°时，上式结果即为通径与顶点形成的三角形面积：p²/2。且依据正弦函数性质可知，通径三角形是面积最小的焦点弦三角形。
其他1.判别式
直线方程y=kx m与抛物线方程联立后的，关于x的二次方程的判别式：
2.一般弦长公式
抛物线一般弦长公式：
显然，当m=-kp/2，即直线过焦点时，公式退化为焦点弦公式3。
3.焦点弦中的韦达定理
过焦点的直线方程与抛物线方程联立后，两交点（如果存在的话）：A（x1，y1），B（x2，y2）满足如下关系：
上述公式推导过程从略
文|高见远，转载请注明出处。
