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已知三角形三边垂线长度(三角形重心垂直)

已知三角形三边垂线长度(三角形重心垂直)素来钟爱向量,不容瑕疵,故原题已略作矫正。强迫症使然,无可救药。一眼相中此题,是那若隐若现之间透着神秘的诱惑。对称的结构,简洁的笔调,丰富的内涵还在其次。那不叫狂放不羁,最多算是河马发疯。笛卡尔的叨有云:刷题亦如作画,先范山模水,做到远人无目,远树无枝,远山无皴,远水无波……1 围观一叶障目,抑或胸有成竹

凡刷题者,应意在笔先,切忌随心所欲,百无禁忌。

高手不都随心所欲,挥洒自如?

然。但在成为高手之前,先照猫画虎,如法炮制。

果真那样,狂放不羁的我怕是难以自在。

那不叫狂放不羁,最多算是河马发疯。笛卡尔的叨有云:刷题亦如作画,先范山模水,做到远人无目,远树无枝,远山无皴,远水无波……

1 围观

一叶障目,抑或胸有成竹

已知三角形三边垂线长度(三角形重心垂直)(1)

一眼相中此题,是那若隐若现之间透着神秘的诱惑。对称的结构,简洁的笔调,丰富的内涵还在其次。

素来钟爱向量,不容瑕疵,故原题已略作矫正。强迫症使然,无可救药。

数量积之范围,可从基底法与坐标法双向操刀。结果,或转化为函数的值域,或转化为基本不等式,或通过几何意义求解。

2 套路

手足无措,抑或从容不迫

已知三角形三边垂线长度(三角形重心垂直)(2)

重心是三角形最具魅力的特征,亦是平面向量最热衷的考点。

法1,基底法。取爪子形的两边为基底,将所涉向量用基底表示,则目标转化为CA长度的函数。利用构成三角形的条件——两边之和大于第三边,得到CA的范围,由此可得目标函数的取值范围。

上述方法,转化较多,易造成逻辑混乱,需仔细体会。

已知三角形三边垂线长度(三角形重心垂直)(3)

法2,建系,坐标法求解。凡遇上垂直、对称、中点等元素,坐标法不妨一试。

以AB中点为原点,AB所在直线为x轴建系,将目标转化为坐标运算。显然,法2较之法1易于理解,运算亦更简捷。

到此,功德圆满。但神秘的诱惑尚未浮现,直教人欲罢不能。

3 脑洞

浮光掠影,抑或醍醐灌顶

研究几何,动点轨迹是不可回避的对象。

透过法2不难发现,重心G的运动轨迹是单位圆,那么动点C呢?如果明确了动点C的轨迹,那么本题将易如反掌,唾手可得。

在此之前,先介绍一个工具:

已知三角形三边垂线长度(三角形重心垂直)(4)

极化恒等式可推出三角形模式,此更寻常。无甚特别,将平行四边形分割为两个三角形而已。

已知三角形三边垂线长度(三角形重心垂直)(5)

已知三角形三边垂线长度(三角形重心垂直)(6)

法3深刻反映了其中的关系:重心G在以线段AB的中点O为圆心,1为半径的单位圆上,而顶点C则在以O为圆心,3为半径的同心圆上。由此可知CA的长度介于两圆的半径和与半径差之间,故范围一蹴而就。

在处理数量积时,极化恒等式功不可没。其基本套路是,遇到数量积,取夹角对边的中点(若不易处理,换基底)。

4 操作

形同陌路,抑或一见如故

已知三角形三边垂线长度(三角形重心垂直)(7)

已知三角形三边垂线长度(三角形重心垂直)(8)

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