余弦定理怎么用正弦定理证明（对一道基础习题的思考）

余弦定理怎么用正弦定理证明（对一道基础习题的思考）最后，我们来给出海伦公式的证明。其实都是一环扣一环的，这就是为什么前面我要把正弦定理，余弦定理都证明出来的原因。海伦公式的证明，说到底，还是利用正余弦定理来得出结论。本质是利用S=1/2bcsinA 首先用余弦定理求出cosA 再由同角的正余弦的平方和等于1，求出sinA，在证明的过程中涉及到三个需要注意的地方，一个是表示出面积以后要先平方去根号；第二个就是在后面处理这个看似复杂的分式的时候，运用因式分解的平方差公式来分步分解；第三个，就是一个拆分的小技巧，在面对形如b c-a这种式子的时候，可以想到把它转化为a b c-2a。 其实，由一道基础的三角形求面积的习题，引申出这么多的解法，还有对各个公式的证明，本质上，就是希望同学们在学习的过程中，要知其然，更知其所以然。因为从我个人的学习经历来看，在探究一个定理本质的过程中，不光可以加深对公式定理的记忆，很多时候证明一个定理的过程，往往就是

首先，先给出下面这道基础例题的三种方法。方法1是利用S=1/2底*高，方法2是根据海伦公式直接代入三边长就可以得出结论，方法3是根据正弦定理来求三角形面积。那么这三种方法究竟有什么区别呢？第一种方法可以说是最基础最本质的做法，就是按照三角形面积=1/2底*高来入手。通过作辅助线构造直角三角形，通过勾股定理构造等式方程，从而求出高，进而求出面积。而对于海伦公式来说，其一要求是要牢记公式，其二对数字的要求其实比较高，如果给出三个边长均为无理数的话，其实计算起来还是比较麻烦的。而正弦定理，除了要熟记公式，同样也是有一定的计算量，因为首先要通过余弦定理求出角的余弦值，再进一步算出正弦值，一步算错就会导致最终的结果不正确。所以同学们在遇到此类的题目的时候要注意灵活应用方法。

其实我们学习数学，不仅仅是刷题，数学真正的意义在于理解，当你深入地理解了每一条公式定理的时候，其实不需要死记硬背就可以记得很牢，而且在应用到题目的时候可以及一反三。下面给出正弦定理的两种证明方法，供同学们参考。方法一利用的还是在直角三角形里求正余弦，所以我一直在强调，这个方法是最本质的方法，所有的公式定理，都是用这种方法推出来。

方法二就相对灵活一些，它是通过构造三角形的外接圆，同时以圆的直径做斜边，在构造的直角三角形中，再利用同弧所对的圆周角相对来构造等式，不仅仅可以证明正弦定理，同时给出了具体的数值是2r 也就是说在数值上等于三角形外接圆的直径。

余弦定理的证明，归根结底，还是应用了三角形中最最基本的东西：在直角三角形中去解正余弦。因为只有在直接三角形中，我们才能直观地用对应边除以斜边从而得到正余弦。那么，面对普通三角形的时候应该怎么办呢？应该首先去思考，是不是可以构造出一个直角三角形，进而在直角三角形用邻边比斜边来表示出角的余弦值，从而证明结论。其实从以下的证明过程来看，这恰恰就是我们最基本的求已知三边的三角形面积的方法。大家一定要把这个方法牢牢掌握。从某些方面来说，这个方法，才是这个题目最本质的东西。

最后，我们来给出海伦公式的证明。其实都是一环扣一环的，这就是为什么前面我要把正弦定理，余弦定理都证明出来的原因。海伦公式的证明，说到底，还是利用正余弦定理来得出结论。本质是利用S=1/2bcsinA 首先用余弦定理求出cosA 再由同角的正余弦的平方和等于1，求出sinA，在证明的过程中涉及到三个需要注意的地方，一个是表示出面积以后要先平方去根号；第二个就是在后面处理这个看似复杂的分式的时候，运用因式分解的平方差公式来分步分解；第三个，就是一个拆分的小技巧，在面对形如b c-a这种式子的时候，可以想到把它转化为a b c-2a。

其实，由一道基础的三角形求面积的习题，引申出这么多的解法，还有对各个公式的证明，本质上，就是希望同学们在学习的过程中，要知其然，更知其所以然。因为从我个人的学习经历来看，在探究一个定理本质的过程中，不光可以加深对公式定理的记忆，很多时候证明一个定理的过程，往往就是解决这一类问题的方法。或者说，当我们遇到不能直观地套用公式的题目时，如果对定理理解很深入的话，往往可以从证明的过程中找到思路，甚至另辟蹊径。